Файл: Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие.pdf

1)разработку методов организации и проведение измерений в процессе экспериментальных работ на системе;

2)разработку методов обработки наблюдаемых процессов;

3)выбор методов решения возникающих уравнений оптималь­

ности; 4) выбор объема и условий проведения экспериментов, на

основании которых можно с требуемой достоверностью получить интересующие нас статистические выводы.

Последовательность решения указанных задач для конкретных систем может быть различной. Однако только их комплексное рас­ смотрение может дать ответ о целесообразности последующего ис­ пользования математической модели для оценки характеристик исследуемых сложных систем. По результатам подобных исследо­ ваний, называемых на практике режимом калибровки моделей, разрабатывают паспорт, в котором указывается:

1) назначение и общие принципы использования математиче­ ской модели;

2)точность и достоверность результатов моделирования по каж­ дой оцениваемой характеристике;

3)объем натурных экспериментов и критерии, на основании ко­ торых установлена адекватность модели реальной системе;

4)рекомендации по математическому обеспечению, необходимо­ му для обработки результатов моделирования и натурных испы­ таний.

§5.2. КРИТЕРИИ И УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ

При построении математических моделей выбором критерия оп­ тимальности стремятся добиться такой эквивалентности модели ре­ альной системе, чтобы достичь некоторых вполне определенных свойств оценок, характеризующих показатели качества исследуе­ мых систем. Наиболее общие требования к получаемым оценкам состоят в том, чтобы они обладали достаточной информативностью л позволяли с максимально возможной степенью точности устано­ вить выполнение системой требований, предъявленных при ее раз­ работке.

В самом общем случае критерий оптимальности определяет сте­ пень близости оценки выбранного показателя эффективности R* к его истинному значению R.' Обычно качество принятой оценки ха­ рактеризуют с помощью некоторого заданного функционала р(с*,

у). В рассматриваемом случае оценку R* получают в результате статического моделирования на математической модели, т. е. спра­ ведливо формальное равенство R* = R(^|c*). Поэтому для каждого

варианта построения модели функционал р(с*, у) характеризует величину, зависящую от оценок вектора параметров модели с*. В свою очередь оценки вектора параметров модели функциональ­ но или статистически связаны с величинами или процессами

77

Для выпуклых функционалов p{c*(y), у} и функций g-, (с*), v = = 1, 2, N2 условия (5.2.3) являются в то же время и достаточны;

ми условиями [27].

Чтобы определить наилучший вариант построения математиче­

ской модели, нужно найти значения p{c*v (y), У} Для всех допусти­ мых ее структурных описаний, сравнить их и в качестве оптималь­ ного структурного описания модели выбрать то, для которого зна­

чение p{c*v (у), у} наименьшее.

Анализ математических аспектов рассматриваемых вопросов показывает, что наиболее трудоемкими при вычислении являются задачи:

1) определения наиболее удобных форм математического опи­

3)разработки эффективных методов поиска глобального экстре­ мума функционала (5.2,3).

Трудности решения указанных задач определяются:

1)сложностью математического описания разрабатываемых мо­

делей;

2)многообразием видов и способов проведения измерений при физическом экспериментировании;

3)частичным или полным отсутствием априорной информации

оструктуре и законах распределения параметров некоторых эле­ ментов системы; .

4)значительной размерностью вектора параметров модели.

§ S.3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ

Математические уравнения (5.2.3), определяющие условия опти­ мальности параметров разрабатываемой модели при фиксирован­ ном точно известном ее структурном описании, в большинстве прак­ тических случаев не могут быть записаны в явной форме, как не­ которые функционалы, зависящие от вектора с. Это определяется как сложностью исследуемых систем, так и трудностями, связан­ ными с нахождением точных аналитических зависимостей, опреде­ ляющих ограничения, которые необходимо учитывать при разра­ ботке моделей. В таких условиях -обычно трудно на основании априорных сведений оценить дифференцируемость анализируемого функционала. В связи с этим при анализе конкретных задач при­ ходитсяприменять методы оптимизации, не использующие подоб­ ных свойств исследуемых -функционалов.

79

При рассмотрении сложных систем возникает дополнительное требование, обычно предъявляемое к используемым методам опти­ мизации. Это требование можно сформулировать в виде условия, которое требует разработки алгоритмов, максимально использую­ щих результаты моделирования и приводящих к различного рода

итерационным схемам.

В значительной степени всем предъявляемым требованиям удов­ летворяют алгоритмы, основанные на вероятностных итеративных методах оптимизации. По своему содержанию эти методы относятся к градиентным методам с той лишь разницей, что градиент иссле­

дуемого функционала р{с*(у), у} оценивают на основании результа­ тов статистического моделирования R(ci, t), ..., R(cp, t), получен­ ных для некоторого заранее выбранного набора векторов Cj, с2, ..., ср. Способ выбора векторов с<(£= 1, 2, ..., р) определяется алгорит­ мом, на основании которого хотят получить оценку градиента функ­ ционала в точке с = ф г — 1], соответствующей п — 1-шагу итераций. В общем случае алгоритм нахождения оптимального значения век­ тора параметров с* можно записать в виде следующего поискового алгоритма оптимизации [53]:

где v p — оценка градиента функционала p{c(y), у} на л-шаге ите­ раций; у„ — матрица, характеризующая алгоритм уточнения п — 1- приближения; yin — матрица, определяющая влияние ограничений второго рода на способ формирования л-приближения для множи­ телей Лагранжа %[п].

При реализации алгоритмов типа (5.3.1) надо оценивать:

1) условия и скорость сходимости итерационного процесса поиска;

2)методику выбора первоначального приближения;

3)единственность и оптимальность получаемых решений;

4)способы формирования оценок градиента функционала;

5)алгоритмы расчета элементов матриц у[-], YiH Для каждого п такта итераций.

Если некоторые общие свойства анализируемых уравнений оп­ тимальности известны, то указанные выше вопросы могут быть ре­ шены на основании результатов теоретических исследований.

Если априорных сведений нет, то для решения уравнений (5.2.3) нужно применять метод «проб и ошибок», что позволяет е помощью методов регрессионного, анализа установить многие важные зако­ номерности и с использованием их довести исследование уравнений оптимальности до практически приемлемых решений. Иногда про­ цесс предварительного анализа уравнений удается алгоритмизиро­

вать и объединить с процессом поиска экстремума исследуемого

80