Файл: Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие.pdf

функционала. Формально такое объединение можно выполнить введением зависимости элементов матрицы \ п от последовательно­

сти значений векторов Ci, с2, ср.

При изучении вероятностных методов поиска понятие сходимо­ сти обычно включает в себя и отражает процесс последовательного вероятностного уточнения оценок вектора с*. Для некоторых част­ ных случаев условия сходимости подобных алгоритмов приведены

в[26].

Кпримеру, если градиент v cp{c(y), у} оценивать приближенным способом

= (О, 0, ..., 1); а — скаляр, то можно получить условия сходимости, которые будут гарантировать близость найденных оценок с„ к оп­ тимальному значению с* в среднеквадратическом смысле [26].

Для всякого итерационного процесса необходимым элементом является операция проверки, заключающаяся в том, что на каждом шаге итераций найденное приближение анализируется на предмет его оптимальности. Обычно эта проверка связана с разработкой не­ которых правил остановки процесса поиска. Причем, исходными данными для работы подобных алгоритмов служат условия опти­ мальности, найденное значение вектор-параметров модели сп и требования, при котором точность полученных оценок достаточна для их практического использования.

Для рассматриваемого класса математических моделей, когда оценку показателя эффективности R(c*, t) рассчитывают по резуль­ татам статистического моделирования, алгоритм остановки процес­ са поиска можно построить с использованием методов статистиче­ ской проверки гипотез. Например, если под оптимальными оценками вектора с* понимать значения, при которых результаты моделирования и натурных испытаний получаются однородными в смысле тождественности функций их распределения, то правило остановки при заданных уровнях значимости ошибок первого и вто­ рого рода может быть сформулировано на основании известных критериев проверки гипотез (критерий Смирнова, Уилкоксона и т. д.).

Разработка подобных алгоритмов особенно важна при анализе результатов испытаний и моделирования сложных систем. Это объясняется тем, что указанным способом можно оценить возмож­ ность практического использования в математической модели оце­

нок вектора с, рассчитанных на основании методик обработки, раз­ работанных для каждого конкретного элемента системы.

§ 5.4. ОСОБЕННОСТИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ РЕАЛИЗУЕМОСТЬ МЕТОДОВ

Как уже отмечалось, математические модели сложных систем строят на принципах функционального объединения подсистем,

81

отображающих и характеризующих некоторые вполне определен­ ные процессы принятия решений в ходе выполнения реальной си­ стемой своего целевого назначения. При создании подобных моде­ лей общее число допустимых вариантов ее построения зависит от количества разрабатываемых структурных описаний т для каждой подсистемы и, естественно, от их общего числа I. Если при реше­ нии уравнений (5.2.3) рассматривать все варианты со строгим уче­ том всех ограничений (4.3.1), (4.3.2), то число сравниваемых струк­ турных описаний модели системы можно охарактеризовать значе­ нием т1, например, при /^ 1 0 , т = 3 получаем, что для определения наилучшего варианта описания модели системы нужно проанали­ зировать более 50000 возможных решений. Однако из этого вовсе не следует, что нужно разрабатывать такое же количество разных моделей системы. При блочном построении программ многие ва­ рианты структурного описания модели системы можно получить без радикального изменения модели взаимодействия подсистем.

Такое положение открывает определенные перспективы по ана­ лизу возможно большего числа возможных вариантов построения модели системы, но не снимает вопросов, связанных с необходимо­ стью проведения моделирования с целью получения значений

р{с*(у)> У} для всех рассматриваемых ее структурных описаний. Более серьезные затруднения возникают из-за высокой размер­ ности вектора параметров модели системы. Размерность векторапа­ раметров моделей сложных систем характеризуется: несколькими сотнями, а порой и несколькими тысячами параметров. Найти ми­ нимум (5.2.1) относительно всех параметров модели, даже для од­ ного точно известного структурного описания, практически не­

возможно.

Если в математической модели системы использовать оценки

параметров с,- (i= 1, 2, ..., г), полученные на основании методов, раз­ витых только для каждого отдельного средства, то оценки выход­ ного показателя эффективности всей системы будут получаться не­ оптимальными и при малом объеме физических экспериментов мо­ гут привести к неправильным выводам относительно выполнения системой заданных требований. Несмотря на это возникает вопрос: а нельзя ли все же провести статистическое моделирование при найденных указанным выше образом оценках вектора параметров модели, а потом скорректировать оценки показателей эффективно­ сти системы так, чтобы они обладали всеми свойствами, которые предопределены выбранным критерием оптимальности?

Возможности практической реализации такого подхода опреде­ ляются сложностью выбранного критерия оптимальности и объе­ мом моделирования, которое нужно провести для нахождения зависимости показателя эффективности R (^| с) как функции от век­ тора параметров с. Например, если выбором критерия оптимально­ сти стремятся достичь определения точечных несмещенных оценок показателя R*, то можно скорректировать результаты моделирова­

62

ния, полученные на математической модели при введении в нее вектора параметров с, рассчитанного на основании методов, разви­ тых для каждого отдельного средства системы. В этом случае ис­ следованию подлежат уравнения типа

В (5.4.1) операция математического ожидания осуществляется по распределению р(с|с), определяющему множество всех возмож­

ных оценок с, которые могут быть получены в ходе физических экспериментов на элементах системы того же объема. Из-за высо­ кой размерности вектора с поиск точных решений уравнений (5.4.1) связан так же, как и при решении уравнений (5.2.3) с довольно значительными трудностями вычислительного характера. Поэтому при разработке моделей конкретных систем задачу параметриче­ ской отработки моделей по результатам физических экспериментов, связанную с корректировкой результатов моделирования, рассмат­ ривают только относительно некоторых наиболее существенных факторов:

Х = (ХЬ Х2, . . ., Хй), £ < г .

Это приводит к необходимости изучения вопросов, связанных с разработкой эффективных методов определения наиболее сущест­ венных параметров Xi, Хг, ..., X* и установления зависимости оце­ ниваемых показателей R(^| с) как функций от элементов вектора X. Кроме того, из-за невозможности нахождения экстремума уравне­ ния (5.2.1) по всем элементам вектора с требуется иной подход к обработке и использованию результатов, полученных при экспери­ ментальных работах на средствах всей системы. А именно, для определения степени доверия к результатам моделирования прово­ дят дополнительные исследования по оценке статистической совме­ стимости моделируемых и реальных процессов к одной и той же генеральной совокупности.

В совокупности реализация указанных выше процедур позво­ ляет развить приближенную методику калибровки моделей слож­ ных систем.

§ 5.5. ПРИБЛИЖЕННАЯ МЕТОДИКА КАЛИБРОВКИ МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Трудности, возникающие при поиске точных решений функцио­ нальных уравнений оптимальности, в большинстве случаев приво­ дят к необходимости разработки приближенных методов калибров­ ки математических моделей по результатам натурных экспери­ ментов.

При анализе конкретных систем могут встретиться различные случаи, но рассмотрим лишь схему проведения натурных испыта­ ний, изображенную на рис. 5.1.1. При этом будем считать, что:

83

системой своего целевого назначения (выборка значений Rj, R2, R„), можно наблюдать, но из-за сложности вычислений их нельзя использовать при оценке параметров модели;

3. Операторы преобразования G j(i=l, 2, ..., п) и законы рас­ пределения единичных ошибок для всех используемых измеритель­ ных устройств точно известны;

4. Априорная информация о законах распределения существует

по ансамблю реализаций осуществляется на основании апостериор­

ных законов р(св |у ), рассчитанных по результатам реальных ис­ пытаний.

Поскольку подобные условия наиболее характерны при рассмот­ рении сложных систем, то методика калибровки моделей должна учитывать указанные особенности и приводить к четко определен­ ным и реализуемым операциям, позволяющим установить степень соответствия результатов моделируемых и реальных процессов.

На практике математическая модель считается адекватной (в смысле возможностей практического использования результатов моделирования) реальной системе в том случае, когда доказано, что выборки моделируемых и реальных значений показателей эф­ фективности системы имеют одинаковые законы распределения или принадлежат к одной и той же генеральной совокупности.

Для достижения требуемой достоверности принимаемых статис­ тических выводов должны быть определенного объема выборки ре­ зультатов натурных испытаний и моделирования. Если критерий проверки рассматриваемых статистических гипотез выбран, то объемы выборок могут быть получены на основании теоретических расчетов.

Охарактеризуем методику, наиболее полно отражающую специ­ фику калибровки моделей сложных систем. Для рассматриваемых условий методика калибровки моделей должна включать в себя следующие операции.

Обработка результатов натурных испытаний по единичным реа­ лизациям и по ансамблю реализаций на основании частных методик с целью получения исходных данных для моделирования (оценка параметров модели по результатам проведенных измерений). Оцен­ ку параметров, для которых имеются априорные законы распреде­ ления, осуществляют на основании байесового подхода (опреде­ ляются апостериорные законы распределения названных парамет­ ров), а при отсутствии априорной информации обработку результатов наблюдений производят с использованием методов максимального правдоподобия или наименьших квадратов. В по­

84

следнем случае получают совокупность оценок, характеризующих законы распределения параметров модели по ансамблю обрабаты­

ваемых реализаций.

Моделирование при исходных данных, полученных на основании частных методик обработки. Основная цель такого моделирова­ ния— получить выборку значений выходного показателя Ri, R2, Rjv необходимого объема (объем моделирования обычно выбирают

-на основании результатов теоретических расчетов, но он может быть изменен в ходе проведения калибровки моделей).

Корректировка результатов статистического моделирования из условий достижения их несмещенности. Необходимость этой опера­

ции объясняется хотя бы тем, что введение в модель оценок пара-

А

метров см, полученных на основании метода максимального прав­ доподобия, приводит к тому, что оценки выходных показателей

R(/) см) оказываются смещенными, даже если исходные параметры были несмещенными. Этот результат является следствием того, что модель осуществляет нелинейное преобразование над входными

E{R(<|cm)} * R (* |cJ ,

где R(£|cM) — истинное значение выходного показателя в момент окончания процесса функционирования t системы (выходной пока­ затель от реализации к реализации изменяется как случайная ве­ личина с определенным законом распределения).

Если бы для всех параметров модели удалось построить апосте­ риорные распределения, то принципиально при бесконечном числе реализаций с помощью модели можно было бы найти апостериор­ ное распределение выходного показателя р (R|у, t) и уже на осно­ вании его рассчитать оценки, которые характеризуют качество функционирования или эффективность исследуемой системы. Но это означает, что найденные таким способом оценки выходных по­ казателей будут байесовскими и, следовательно, смещенными. По­ этому перед тем, как оценивать статистическую совместимость ре­ зультатов моделирования с результатами натурных испытаний, нужно исключить смещение в результатах моделирования, что яв­ ляется вполне обоснованной теоретической операцией, которая практически необходима, так как позволяет повышать точность по­ лучаемых результатов.

Проверка статистической совместимости результатов моделиро­ вания с результатами натурных испытаний. При проверке гипотез считаются заданными уровни значимости и тип используемого кри­ терия. При выборе критерия обычно стремятся достичь такого по­ ложения, чтобы он для рассматриваемых условий позволял реали­ зовать максимум вероятности правильного опознавания гипотезы в том случае, когда она верна. К сожалению, этот общий принцип вы­ бора, связанный с использованием, так называемых, наиболее мощ­

85