Файл: Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 154

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В свою очередь

где

A = A i +

А 2,

 

 

п

 

т

Aj=2 (RP/— Rp)(Rp,.-Rp)r; A2=2(R -/- RM)(RHi- R«)r;

/=1

 

i-i

B = A

+ ^ ^ ( R : l- R

P* )( R :- R ;)r.

 

m + n

 

Статистика V] используется для

проверки гипотезы Н\ : Krp =

= Кны, а статистика

У2— для проверки гипотезы Я2 :т д =rriRM

при KRp = K rm- Кроме того, в той же работе показано, что стати­

стики V\ и У2 независимы в том случае, когда гипотезы Н\ и Я2 верны. Независимость статистик V\ и У2 означает, что проверку гипотезы Я можно осуществлять в два этапа: сначала проверить гипотезу Н\ с использованием У), а затем гипотезу Я2 с по­ мощью У2.

Для произвольных р в аналитической форме найти выражения для законов распределения статистик V\ и У2 невозможно. Поэто­ му на практике при проверке гипотез Яь Я2, Я для вычисления плотностей распределения статистик Уь У2, У применяют асимп­ тотические разложения.

Если ввести переменные

w

(п + т — 2)а ^ р(я+т~ 2)

 

 

1

( п i ) ( l / 2 ) / J ( n — I ) __ i y l / 2 ) p ( m — 1 ) V "

 

W ^ { n + m - 2 f mpin+m- 2) (П ~

1)-d/2)R(«-D х

(5.6.4)

 

Х ( т - \ Г (тЫт~1)У,

то можно доказать справедливость следующих соотношений [29]: а) при проверке гипотезы Hi

Р [ — р In W x< X2 (а)} = Р \г) < X2 (а)} +

+

“2 [Р {Х2+4< Х 2( а )] - Я (X2 < Х 2(а )]]+ 0

(« -3), (5.6.5)

где р— 1—

т— 1 п — 1

2д+ 1 .

 

 

т + п — 2

 

 

P i P + 1)

(Д— 1)(Р +2)

1

1

 

(п — I)2,+ (т — I)2 (п +

т — 2)2 —6(1—Р2)

 

 

48р2

 

 

90

б) при проверке гипотезы Я

Я{ —2Pln W /< f (а))= Я (X/<Х 2 (<*)} +

 

 

+ шг [^

|Х/+4<Х 2(«))— ^{Х2 < Х 2 (“)} ]+ °(«_3). (5.6.6)

где

 

 

 

*------ 1 2р Ч~ 1

 

 

 

 

Р=1 —

я — 1

 

 

(л + т — 2) (р + 3)

 

т — 1

т + л — 2 J

6.

 

f = ~2p { p - \ '- 3);

 

 

 

 

1

 

1

 

1

X

" 288 р2

 

_(п—I)2

(т— I)2 (т + п — 2)2

Х ( р + 1 ) ( р + 2 ) ( р - 1 ) -

1

 

1

 

1

X

 

п — 1

т — 1

т + л — 2

 

х (2р2 + З р — I)2

 

 

 

 

 

 

 

 

___________1

\

(2р2 + 3 р - 1 ) р

 

Р + 3

п — 1 т — 1

пг + п — 2 / (д + 3) (л + лг— 2)

 

- 3 6

 

Р2

 

 

24 (pi — 1)

 

 

т —

 

3)

я +

т —

2

 

 

 

(я +

2)2 (р +

 

 

Если со2 мало по сравнению с Я{х/2^% 2(а)}, то проверка рас­

сматриваемых гипотез достаточно проста и основывается на том, что величины — 2р In W и —plnl^i имеют %2 — распределение с числом степеней свободы, соответственно равным [29]

/ = \ р { р + 3); / = у />(/>+!)• (5'б'7)

Задача 3. Если на математической модели удается получить достаточно большой объем статистического материала, то возни­

кают задачи проверки статистических гипотез вида:

 

 

 

Я : т Кр= т £ м;

KRp= < ,

 

(5.6.8)

При рассмотрении подобных задач считают точно известными

ш°п

и К£

, а оценки истинных значений гп„

и К„

рассчиты-

км

Rm

 

кр

«р

 

вают на основании наблюдаемой выборки р-мерных векторов

 

 

I?

т?

т? __ т? <")

 

 

 

 

*'pi>

-^ра» • • • у

•

 

 

Следуя работе [29], для решения поставленной задачи найдем

значение

 

 

 

 

 

 

 

Х =

( ф ) /,л/21BKr” 1Гх

 

 

X ехр

BK°RM) + ra (R—P m RM) r K rm ^Rp—iriRMj J (5.6.9)

где

 

(RP-— Rp)(Rp(~ Rp)r; r;=

^ 2

RPi;

 

 

 

 

 

n i

 

91

sp{ •) — след матрицы.

Предположив, что нулевая гипотеза Н справедлива, проверяем

неравенство

 

— 2 1пХ<^х2(а),

(5.6.10)

где %2(а) — определяют из условий, что асимптотическое распреде­

ление величины — 2 1п Л, стремится к

^-распределению

с [д+

+ \)р]/2+р степенями свободы.

то проверяемая

гипоте­

Если неравенство (5.6.10) выполнено,

за справедлива.

Рассмотренные выше задачи довольно часто ставятся при ана­ лизе результатов моделирования сложных систем. Успешное их решение в значительной степени определяется принятым предпо­ ложением о нормальности распределения анализируемых выборок. Если бы законы распределения указанных выборок не подчинялись многомерному гауссову распределению, то степень адекватности мо­ дели реальной системе в смысле точности имитации некоторых про­ цессов может быть установлена только с помощью приближенных методов проверки статистических гипотез.

К этим методам относится широко используемый на практике прием, когда проверка выдвигаемых гипотез относительно некото­ рой статистической эквивалентности двух р-мерных выборок сво­ дится к последовательной проверке тех же гипотез, но уже для каждой фазовой компоненты векторов RM, Rp в отдельности. При­ чем, исходная многомерная гипотеза считается справедливой, если все результаты проверки одномерных гипотез положительны.

Описанный выше способ проверки многомерных гипотез теоре­ тически необоснован и, вероятно, можно придумать примеры, когда он будет просто недопустимым. Однако практика показывает, что такой способ проверки позволяет экспериментатору эффективнее использовать все результаты натурных испытаний и получить бо­ лее качественные выводы о статистической эквивалентности ре­ зультатов моделирования и натурных испытаний.

ГЛАВА 6

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

§ 6.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ОШИБОК

Практическое использование математических моделей для рас­ чета показателей эффективности сложных систем неразрывно свя­ зано с оценкой точности результатов статистического моделирова­ ния. Анализ этих вопросов необходим, так как статистические вы­ воды, принимаемые на основании получаемых оценок, должны быть достоверными с некоторой наперед заданной вероятностью. Изуче­ ние этих вопросов состоит в определении полной группы ошибок, которые возникают при оценке показателей эффективности реаль­ ных систем с помощью математических моделей. Если классифи­ кацию осуществляют с точки зрения причин, приводящих к появ­ лению ошибок моделирования, то деление ошибок на классы мож­ но выполнить следующим образом:

1. Ошибки моделирования, возникающие из-за несоответствия операторов модели реальной системе;

2.Ошибки расчета оцениваемых показателей из-за неточностей дискретной реализации моделирующего алгоритма на средствах используемой цифровой вычислительной техники;

3.Ошибки моделирования, возникающие из-за нелинейных эф­ фектов преобразования моделями неточных входных данных;

4.Случайные ошибки моделирования, обусловленные ограни­

ченностью статистики, которую получают при проведении статисти­ ческих испытаний на модели;

5. Ошибки моделирования, являющиеся результатом ограни­ ченного числа испытаний, проведенных на реальной системе.

В § 4.4 отмечалось, что суммарная ошибка моделирования со­ стоит из регулярной и случайной составляющих. Причем каждая составляющая зависит как от начального состояния системы z(t0),

так и от входного сообщения (t, xL] /0 реализуемого в данном эксперименте. В связи с этим суммарную ошибку моделирования 8R(c|f) необходимо оценивать в условиях, в которых выполняется неравенство

inf P(SR (c|A z (t0), (;t, x j ' )< A )> 1 — PA,

(6.1.1)

где A — область предельно допустимых ошибок расчета

показате­

ля эффективности системы; РА — вероятность, определяющая сте­ пень доверия к результатам моделирования на созданной модели.

Другими словами, ошибки моделирования должны оценивать­ ся для входных сообщений (t, xL]/0 и начальных состояний систе­

93

мы z(t0), на которых достигается точная нижняя грань значений

вероятности P{6R(c|/, z{t0), (t, xL]J0) ^A }.

Если удается представить каждую компоненту входного сигна­ ла х(£) в виде некоторой комбинации линейно-независимых орто-

нормированных

функций, то уравнение

(6.1.1) можно

преобразо­

вать к виду

 

 

 

 

 

inf

P{3R(cK,

z(t0), {t,

x j '

)< А )> 1 - Я л ,

 

2(<»),a

 

 

b 10

 

 

 

a = (a!,

a2, ... ,

a „ . .

aj ,

(6.1.2)

где ai=(aib a.{2 , a in) — вектор параметров, характеризующий

разложения Xi(t) =aiT<p(i); <p(t) = (q>i(f), фг(0. фп(0)-

Переход от (6.1.1) к (6.1.2) целесообразен, так как позволяет применять более простые методы анализа уравнений чувствитель­ ности, связанные с определением условий, в которых должны оцениваться ошибки моделирования.

§ 6.2. ОШИБКИ ДИСКРЕТНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МОДЕЛИРУЮЩИХ АЛГОРИТМОВ

При разработке моделей практически всегда возникает вопрос, можно ли достичь требуемых точностей при тех методах дискрет­ ной реализации моделирующих алгоритмов, которые признаны достаточными или наилучшими на основании априорных сведений? Необходимость решения этого вопроса объясняется стремлением уменьшить риск возможной доработки модели после ее создания. Методы, привлекаемые для решения указанного вопроса, обычно зависят от сложности математического описания процессов в ана­ лизируемых системах. Охватить все многообразие случаев, кото­ рые могут встретиться при рассмотрении реальных систем в рам­ ках какой-либо единой методики трудно. Но среди множества всевозможных случаев можно указать наиболее характерные. К ним в первую очередь следует отнести те случаи, которые характери­ зуют методы дискретной реализации наиболее типичных модели­ рующих алгоритмов, используемых для описания процессов в ре­ альных элементах системы.

Аппроксимация функциональных зависимостей. Очень часто за­ висимость между входом х и выходом 2 реального элемента за­ дают в виде таблицы или графика, определяющих функциональ­ ную зависимость вида z=f(x). Непосредственное точечное пред­ ставление подобных зависимостей требует довольно значительного объема памяти ЭВМ. Поэтому на практике зависимость z — f(x) представляют в виде

z = 2 c /?< w .

(6 -2 Л )

94

где Ci — коэффициенты разложения; ср,-(л:)—-функция из некото­ рой совокупности заданных функций.

Так как значения zь z2, zn получены реальными измерителя­ ми, то они будут с ошибками, которые в общем случае носят слу­ чайный характер. По этой причине возникает необходимость в оп­ ределении таких значений коэффициентов с, (i=l, 2, ..., г), кото­ рые минимизировали бы следующую сумму квадратов

Q ( C l , с2, ...,

с*-)—

п

 

Г

 

—

 

' 2

 

 

2

c i b ( . X j )

Z j

=

с .

 

 

 

 

 

 

 

m i n ;

 

7 = 1

_i-i

 

 

 

 

 

^i

Z j =

z a J +

&

Z j ,

 

j = 1,

2,...,

п .

 

При таком способе точность аппроксимации,

характеризуемая

остаточной суммой квадратов, равна [31]:

 

 

 

 

 

Q (с*,

 

 

c*) = z rz — z TAc*,

(6.2.3)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z =

{Zy,

z 2, . . . ,

z n)\

 

 

 

 

 

с= (с!,

 

г ,, ...,

су);

 

 

 

 

 

< P i ( - * i ) > 2( <P* i ) . -

•

 

■ ,

< P r ( * i )

А

=

< P i ( * 3 ) .

<Ра (

*

а ) .

• •

• • < P ,(J C 2 )

 

f

l

W

 

2, ( * „<Р ) . •

•

 

 

%■ ■ ( * „ )

В случае когда неизвестно, что именно данная совокупность функций cpi ( х ), ..., (p, (x) обеспечивает минимум остаточной суммы квадратов, нужно рассчитать величины Q(ci*, с2*...) для всех воз­ можных разложений и использовать ту, которая реализует мини­ мальное значение Q(ci*, с2*, ...). Если в качестве функций фг(х) использовать ортогональные системы функций, отличающиеся друг от друга только числом членов разложений (6.2.1), то вычисления оказываются наиболее простыми, ибо нет надобности пересчиты­ вать значения коэффициентов с,* при переходе к более точным ап­ проксимациям. В свою очередь это приводит к рекуррентной фор­ муле пересчета остаточной суммы квадратов:

Qr+i = Qr— 2 *№■+! (*г)-

(6.2.4)

/=1

 

Если система функций ф*(х) выбрана так, что зависимость (6.2.1) при некоторых значениях параметров Ci абсолютно точно воспроизводит полезный сигнал zu{x), то при нормальном распре­ делении величин AZi оценки параметров с,*, найденные с исполь­ зованием метода наименьших квадратов, несмещенные и, что са­ мое важное, имеют наименьшую возможную дисперсию [30], [31].

95

Смотрите также файлы