Файл: Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 153

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Дискретная реализация дифференциальных операторов. Доста­ точно широкий класс реальных'элементов может быть описан диф­ ференциальными уравнениями в частных или обыкновенных про­ изводных

 

Нz{t)=x{t),

г ( 0 ) = /,

 

(6.2.5)

где

Н — дифференциальный оператор, z (t) — искомое решение;

x(t)

— заданная функция.

на интервале [0,

f\

с помощью

Для нахождения решения z(t)

ЭВМ необходимо уравнение (6.2.5) записать в виде

разностного

уравнения:

 

 

(6.2. 6)

 

 

 

 

где Н/г — разностный оператор;

— решение разностного уравне­

ния;

— правая часть разностного уравнения.

(6.2.6) можно

Практически операцию преобразования (6.2.5) в

осуществить различными способами, которые будут отличаться друг от друга как точностью представления непрерывного диффе­ ренциального оператора, так и временем, необходимым для нахож­ дения решения на используемой ЭВМ. В общем случае точность и время счета являются противоречивыми требованиями. Чтобы между этими требованиями найти практически приемлемый ком­ промисс, нужно знать, каким образом оценивать сходимость реше­ ний разностных уравнений к решениям исходных дифференциаль­ ных уравнений.

Для выяснения этого вопроса нужно установить, что необходи­ мо понимать под разностью между решением дифференциального

уравнения z{t), определенным во всех точках отрезка

времени

[О, t], и решением разностного уравнения zW, полученным

только

в конечном числе точек разностной сетки. Если каждой функции z(t) на отрезке времени [0, t] поставить каким-либо способом в со­ ответствие сеточную функцию [z(0]/i> то разность между решения­ ми z(t) и zf-h'>{t) можно оценивать в точках сетки по разности {z[t)]h—z(,l)(0- На основании этого под близостью сеточной функции zW(t) и функции z(t) следует понимать малость величины нормы:

l z W (t)-[z(t)}h\\l h ,

(6.2.7)

где Ъ)Х— пространство определения сеточных функций z ^ i t ) . Если полагать, что аналогичные нормы установлены для оцен­

ки точности аппроксимации начальных данных и правых частей, то чтобы исследовать сходимость, необходимо установить порядок аппроксимации и оценить устойчивость решений для выбранной разностной схемы. В работе [32] показано, что порядки аппрокси­ мации дифференциального оператора Н, граничных условий и пра­ вой части уравнения совпадают с порядком точности разностной схемы, если решение разностного уравнения удовлетворяет ус-

96

ловию

t II x w

I|xft + N 21 / (Л) ||p/n

(6.2.8)

1 z(,° k < N

где Xft, F;i — соответственно

функциональные пространства

опре­

деления сеточных функций

и

N\, N2— постоянные, не зави­

сящие от шага интегрирования h.

Если условие (6.2.8) выполнено, то используемая разностная схема устойчива.

Пример. Рассмотрим вопросы определения порядка точности аппроксимации обыкновенного дифференциального оператора второго порядка с помощью разно­ стных операторов вида:

H ^ z = T2

z (t + h) — 2z (t) + z (t + h)

+

 

Д2

 

 

+ 2

z it + h) — z (t — h)

+ z ( 0;

 

2h

 

 

 

 

H ^ Z : , T2

z (t ) — 2 z ( t — h) + z (t — 2 h)

 

 

Л2

 

 

+ 2 er

z (t) — z (t — h)

+ z ( t ) .

 

h

 

 

 

 

(6.2.9)

(6. 2 . 10)

Вопросы аппроксимации решений дифференциального уравнения z(t) реше­ ниями разностного уравнения z<">(/) будем рассматривать по норме пространст­

ва Zft, которая определяет условия

достижения равномерной

близости функций

z{t) и г<Л>(/)

во всех точках сетки.

 

 

 

 

 

 

 

 

Для проведения последующих оценок найдем:

 

 

 

 

 

 

* ( * +

А ) «

*

( О

+

А * 1 ( 0

+

- у -

■г” ( 0

+

- у -

 

г (t - Л)«

г (0 -

A*>(0 +

у - z11(0 -

-у - г111(<);

 

 

 

г (г— 2/г)«

z (0 — 2Лг’ (0 + 2Л2г'1(t) — —— г111(/);

 

(6-2-11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

z ( t +

h ) t t z ( t )

+

h z \ t )

+

~

- г и ( 0 + -у -

г П1(0 + - ^ - г 1У(0;

г (< -

А) * г (О-

Лг1(0 + - у - г 11(t) -

~

z l l l (i) +

~

г (* -

2 Л ) да г (0 -

2/гг1(/) + 2 /^ 4

(*) _

 

*1” (0 +

~

На основании этих формул при условии, что

 

 

 

 

l* u l (0 l + l* IV(0

l< r f .

*6

[0 , t]

 

можно получить для разностного оператора I следующую оценку:

 

| H ^ z | < max |Г2

2£Г

=М 2>

 

 

12

 

 

 

 

4—3162

 

 

 

 

 

 

zIV (<);

г 1V (0 .

( 6. 2 . 12)

(6.2.13)

97

где

 

 

 

ПА

 

кТА

 

|л-1 — max

+

3

 

12

 

А — некоторая константа.

 

 

 

Отсюда следует, что

 

 

 

| Н ^ г — H z \ < H h?.

(6.2.14)

На основании соответствия, установленного между функциями z{t)

H z(h>(<)

и неравенства .(6.2.14), получаем:

 

 

 

 

 

 

(6 .2. 10).

Следовательно, .разностный оператор I аппрЬксимирует дифференциальный оператор Я на функции z{t) со вторым порядком аппроксимации.

Проведя аналогичные выкладки для разностного оператора II, нетрудно

получить

 

 

 

_

 

 

 

 

 

 

1#Ьа> [ * ] * - № * ] » !< к * .

(6-2.16)

т. е. разностный

оператор II аппроксимирует дифференциальный оператор

на

функции z(t) с первым порядком аппроксимации.

порядка

аппроксимации

на

Итак,

разностный

оператор I с

точки зрения

функции

z(t)

имеет

существенное

преимущество

перед

разностным опера­

тором И.

 

 

 

 

 

 

 

Для завершения исследований по опредёлению порядка точности рассматри­

ваемых разностных схем оценим устойчивость решений

по отношению к значе­

ниям коэффициентов,

входящих

в уравнения

(6.2.9),

(6.2.10). Для простоты рас-'

смотрим случай, когда x { t ) = 0 для

всех t. Полагая

t = nh,

общее решение разно­

стных уравнений

(6.2.9) и (6.2.10)

можно записать

в виде [17]:

 

 

a z n - i + bzn +

czn+i =

0;

(6.2.17)

 

z n = n i ( ^ a / c ) n cos n<f +

72 ( V a l e ) " sin n%

 

7i =

z0;

 

 

 

 

 

 

 

72 =

[ z - i — z 0 (]f

a \ c ) ~ l cos<p] / [ — (l

ale

) _ 1 sin <p ];

cos <? — 6/2 У ac .

 

 

 

 

 

 

 

Для начальных условий Zo=l, z_[ = l

параметры yi, y2 рассчитываем по фор­

мулам:

 

.

 

■

 

 

 

 

 

схема 1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7i =

i;

 

 

 

 

 

 

T2 = ( 2

— h) l У 4Г2—2527-2 _ h? ,

схема 2 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7i =

l;

 

 

 

 

72 = (еЛ2) / ] / 45Г -)- А(1 — £2).

'Поскольку интерес представляют действительные решения уравнений (6.2.17)v то из (6.2.15) получаем нижнюю грань шага вычислений по схеме 1:

Л 2 < 4 7 - 2 ' ( 1 — £ 2 ) .

(6.2.18)

98.

С

f

 

 

Из (6.2.18) видно, что для схемы 2 действительные решения существует при

любых Л, так как всегда

'

■

’ -

 

1 — 52>0.

 

(6.2.19)

Для схемы 1 ввиду того, что Г2> 0, можно получить более простое соотноше­

ние для нижней грани шага вычислений:

 

-

 

Т >

 

(6.2.20)

Если условия (6.2.18), (6.2.19)

выполнены, то обе разностные, схемы устойчи­

вы, а следовательно, из (6.2.15) и (6.2.16), следует,

что при *(f)=P,

*ё[0 , 1] по­

рядок точности k схемы 1 равен 2 ,

а схемы 2 равен 1 .

 

 

Рассмотренный пример говорит о том, что для сложных диф­ ференциальных уравнений оценить таким образом сходимость• и порядок точности получаемых решений очень трудно. Сказанное является следствием того, что для изучения подобных вопросов нужно знать общее решение рассматриваемых разностных уравне­ ний. Для разностных уравнений высокого порядка задача нахож­ дения общих решений очень сложна и в общем случае вряд ли разрешима аналитическими методами.

По этой причине при анализе ошибок дискретной реализации обыкновенных дифференциальных уравнений прибегают к прибли­ женным методам. Наиболее широкое применение на практике на­ ходит метод, основанный на принципе Рунге [33]. Чтобы реализо­

вать этот метод, необходимо:

 

 

1. Знать порядок точности разностной схемы;

уравнения

2. Располагать значениями решений разностного

для двух шагов h и 2/z, т. е. необходимо получить

и z(2K>(t).

При этих исходных данных приближенная оценка

погрешности

может быть рассчитана по формуле [33]:

 

i z W (i)~ [*(/)]*!=

z ^ h){t)— z w {t) |

(6.2.21)

2*—i

 

 

Практическая реализация описанной выше процедуры доста­ точно проста и может быть полезной как на этапе разработки моделирующего алгоритма, так и на этапе окончательной оценки точности спроектированной модели. В сказанном нетрудно убедить­ ся, если принять во внимание, что соотношение (6.2.21) устанавли­ вает взаимосвязь между основными показателями, определяющими точность дискретной реализации элементов, описываемых диффе­ ренциальными операторами.

Ошибки дискретного представления чисел в ЭВМ. Природа возникновения этой группы ошибок обусловлена конечной точ­ ностью представления чисел в ЭВМ и естественными операциями округления промежуточных результатов. Характер проявления этих ошибок в значительной степени зависит от принятого способа программной реализации моделирующего; алгоритма. Для одного и того же моделирующего алгоритма, но программно реализован­ ного различными способами, влияние таких ошибок на выходной результат будет различным. Поэтому оценку влияния этой группы ошибок на результаты моделирования нужно проводить для'каж-

4*

99

Смотрите также файлы