Файл: Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие.pdf

дого случая отдельно с учетом того способа реализации алгорит­ мов, который принят при разработке программ моделей.

Некоторые методы оценки ошибок округления подробно изло­ жены в работе [34]. Суть этих методов составляют алгоритмы рас­ чета, основанные на различных предположениях о вероятностном характере проявления указанных ошибок.

Часто при анализе сложных систем влиянием ошибок округле­ ния из-за высокой точности представления чисел в ЭВМ пренебре­ гают. Нужно сказать, что априори поступать таким образом нель­ зя, так как при определенных условиях эти ошибки могут сущест­ венно исказить выходные результаты.

Итак, при дискретной реализации моделирующих алгоритмов на используемых ЭВМ возникают ошибки, которые влияют на резуль­ таты моделирования, внося в них как случайные, так и методиче­ ские ошибки. Для сложных систем охарактеризовать влияние этих ошибок на точность получаемых оценок очень трудно. Поэтому при калибровке модели нужно проводить исследования с целью опре­ деления возможностей компенсации методических ошибок, а так­ же оценки влияния случайных ошибок на точность результатов мо­ делирования.

§ 6.3. ОЦЕНКА СЛУЧАЙНЫХ ОШИБОК, ОБУСЛОВЛЕННЫХ КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ РЕАЛИЗАЦИЙ НА МОДЕЛИ

Метод статистических испытаний предусматривает многократ­ ный проигрыш различных ситуаций. Поскольку на модели получить выборку неограниченного объема нельзя, то в результатах модели­ рования будут присутствовать случайные ошибки, обусловленные конечным числом реализаций. Характеристики распределения этих ошибок определяют выбранным методом планирования статистиче­ ских испытаний и принятым способом обработки получаемых ре­ зультатов.

На практике для получения возможно простых алгоритмов об­ работки стремятся к тому, чтобы наблюдаемая выборка результа­ тов моделирования была линейно связана с оцениваемыми показа­ телями. При выполнении этого условия, а также при соблюдении некоторых правил построения моделей, иногда удается сравнитель­ но просто установить свойства получаемых оценок, а порой до мо­ делирования гарантировать их оптимальность в некотором классе оценок.

Так, если разрабатываемая модель предназначена для оценки математического ожидания показателя R ( t | с), то среди всех линей­ ных несмещенных оценок среднее арифметическое

N

где Ri — значение выходного показателя, реализовавшееся в t-м эксперименте на модели; N — количество рёализаций, будет эф­ фективной оценкой истинного значения в том смысле, что оценка Rn* имеет наименьшую дисперсию.

Обработка результатов моделирования с использованием (6.3.1) включает в себя тот практически важный случай, когда необходимо вычислить вероятность выполнения некоторого логического усло­ вия. При этом расчет оценок искомых вероятностей осуществляют по формуле:

где т — число опытов» при которых значения R (с, t)принадлежали некоторой заданной области Qr,.

Если по результатам моделирования необходимо определить не­ которые моменты для.законов распределения векторного показа­ теля эффективности, то искомые оценки могут быть найдены по сле­ дующим формулам [13]:

компонент вектора R(c, t), полученные и зафиксированные в раз­ личных реализациях на модели.

Выражения (6.3.1) ~ (6.3.4) можно сравнительно просто преоб­ разовать к рекуррентным соотношениям, что важно при обработке результатов статистического моделирования с использованием бы­ стродействующих машин.

Обработка результатов статистического моделирования на ос­ новании алгоритмов (6.3.1) — (6.3.4) наиболее часто встречается при практических исследованиях. Поэтому очень важно знать за­ висимость точности получаемых оценок от объема статистического моделирования.

Принимая во внимание то, что алгоритмы (6.3.1)-н, (6.3.4) реали­ зуют одну и ту же операцию усреднения, проиллюстрируем методи­ ку определения указанных зависимостей на примере расчета фазо­ вых компонент E{rf} (г'=1, 2,..., п) вектора R (/|с).

Грубую оценку погрешности расчета гг* для независимых экспе­

риментов на модели нетрудно получить-с помощью неравенства Че­ бышева [2], [11].

(6.3.5)

101

где е > 0 — некоторое заданное сколь угодно малое число, получа­

Можно найти более точную зависимость, если при выводе ис­ пользовать центральную предельную теорему Ляпунова, которая для оценок, рассчитываемых по формулам (6.3.1)-н (6.3.3), гаран­ тирует асимптотическую нормальность их распределения. Проделав все необходимые преобразования, можно получить

Оценки, найденные по формуле (6.3.8), оказываются достаточно точными не только при больших N, но и в том случае, когда по тем или иным причинам на модели удается получить выборку резуль­ татов моделирования сравнительно малого объема. При х=2 взаи­ мосвязь между числом реализаций на модели и достигаемой точно­ стью результатов моделирования выражается широко используе­ мым на практике соотношением

Если исследование анализируемой системы возможно аналити­ ческими методами или с помощью упрощенных моделей, то точ­ ность оценок r,*(j= 1, 2, ..., п) может быть существенно повышена при том же объеме статистического моделирования N. Для реали­ зации Этого положения можно воспользоваться алгоритмами, ко­ торые по терминологии, приведенной в работе [35], позволяют нахо­ дить сверхэффективные оценки.

В рассматриваемом случае, когда на модели рассчитывают оценки математического ожидания составляющих показателя R(£|c), алгоритм обработки можно записать следующим образом:

N

3^1

102

где ?i — оценка, найденная аналитическим методом или на упро­ щенной модели; гц > 1 — коэффициент, определяющий область, в ко'торой можно реализовать процедуру построения сверхэффектив­

ных оценок.

Если закон распределения гц (при /= 1, 2, ..., N) гауссов с па­ раметрами N{ri, Du }, то выигрыш в точности оценок П** можно

получить тогда, когда выполняется неравенство

Это неравенство имеет простой физический смысл, если принять во внимание, что в его левой части записано выражение для дис­

персии суммарной ошибки оценки п**, рассчитываемой по (6.3.11), а в правой части — дисперсия оценки как среднего арифметическо­ го, найденного с помощью (6.3.1). При фиксированных r|i, Dtl, N.

неравенство (6.3.12) позволяет определить требования, которые нухшо предъявлять к точности аналитических расчетов, чтобы ре­ зультирующая точность оценки /у*(£|с) была бы большей, чем оце­ нок, рассчитываемых на основании алгоритма (6.3.1).

Практическое использование соотношения (6.3.11) в сочетании с (6.3.1) дает возможность записать общий алгоритм совместной обработки результатов аналитических расчетов и статистического моделирования:

Для этого алгоритма характерно то, что при ri = fi асимптоти­

ческая дисперсия оценки /ч обратно пропорциональна величине тu2N (справедливо равенство Dr*=DTl./'(r]i2N )), а при ГгФг

асимптотическая дисперсия равна Dr\-

Когда известна корреляционная взаимосвязь результатов ана­ литических расчетов с результатами статистического моделирова­ ния, комбинированные оценки могут быть найдены с использовани­ ем алгоритмов, приведенных в работе [36].

. Кроме этого способа уменьшения дисперсии DT\ сравнительно

просто можно реализовать процедуру, соответствующую методу су­ щественной выборки [11],J37]. Физический смысл этого метода за­ ключается, в том, что исходный интеграл, определяющий математи­ ческое ожидание.оцениваемого показателя по распределению веро­ ятностей jn(c?z)

103

случайных векторов z в момент времени t.

Эффективность применения этого метода гарантируется в том случае, если справедливо неравенство

Dr,'И-> D rа:

слоенной выборки [11].

При m=2, nx = p\N, П2 =рг^ {р1 и р2— вероятности принадлеж­ ности случайных векторов z областям £2i и £32 соответственно) не­ трудно показать, что для функций H*[z(f)], принадлежащих гиль­ бертову пространству L2, метод расслоенной выборки дает резуль­ таты более точные, чем прямой метод статистических испытаний [11].

Рассмотренные методы уменьшения погрешностей в результатах статистического моделирования приводят к сравнительно простым алгоритмам обработки и планирования испытаний на создаваемых математических моделях. Поэтому данные алгоритмы наиболее ча­ сто включают в моделирующий алгоритм сложной системы.

Общим свойством методов уменьшения погрешностей является более тонкий учет характера изменения подынтегральной функ­ ции и вида распределения, по которому осуществляют интегриро­ вание.

104