Файл: Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие.pdf

где Fn (x) — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке Xi, Хг, .... хп.

Согласно критерию Колмогорова гипотеза Н0 считается спра­ ведливой, если вероятность появления событий Dn>D р при пра­ вильной гипотезе Н0 не превосходит 2р. Асимптотические свойства

и при этом получают некоторое увеличение надежности критерия, что в конечном счете приводит к более обоснованным выводам о неслучайности расхождений между Fn (хф и F(x). На практике в

качестве рабочего интервала значений У nDр используют промежу­ ток Хре[0,7-М], в который при правильной гипотезе Но попадает

свыше 50% ожидаемых значений Dn У п [37]. Часто при л1^20 при­ меняют асимптотическую формулу Смирнова

23 ~ 2е~2лХС

которая, как нетрудно убедиться, эквивалентна соотношению (7.4.12) и позволяет рассчитать критические значения Я р при задан­

ных (3 и п.

Критерий Колмогорова нетрудно получить из критерия Смир­ нова, если объем выборки zu z2, ..., zm, получаемой при моделиро­ вании, устремить к'бесконечности (т->-оо). Подобная общность при­ водит к тому, что последовательность выполняемых операций и соответственно трудности реализации критерия Колмогорова при проверке гипотезы Н0 будут такими же, как и для критерия Смир­ нова.

Односторонний критерий Колмогорова (Д-критерий) основыва­

Уровень значимости Д-критерия по сравнению с двусторонним критерием Колмогорова для одних и тех же критических значений получают равным уже не 2|3, а (3. С помощью статистик Dn+, Dn~

450

выражение для статистики D n можно записать в виде:

При практической проверке справедливости гипотезы Я0 на основании двустороннего критерия Колмогорова использование со­ отношений (7.4.27) (7.4.29) дает возможность в определенной степени упорядочить процедуру проводимых расчетов._

Взаимосвязь между критическими значениями ?^,/Уп статистик Dn+, Dn~, Dn и истинными уровнями значимости позволяет с помо­ щью эмпирической функции распределения Fn(x) строить область определения функции распределения генеральной совокупности-

F(x) =Fn (x) ±% р/У п. При анализе сложных систем, когда функ­ ция распределения F(x) неизвестна, решение указанной выше зада­ чи иногда позволяет получить практически полезные выводы отно­ сительно вида функции распределения F(x) и объема планируемых

.экспериментов.

ш ,= 0; а* 2=1,0 [33].

Проверку будем осуществлять на основании критерия Колмогорова, для чего рассчитаем эмпирическую функцию Fn (х) и по формуле (7.4.29) найдем D„ = =0,3072485. Если в качестве критического значения взять Др =0,32260, котороесоответствует 2|3= 0,20 при и=Ч0 (табл. 7.4.8), то поскольку Dn<Dp, получаем,, что проверяемая гипотеза Н0 в рассматриваемом случае справедлива.

Критические значения для наибольшего отклонения эмпирического распреде­ ления F„(x) от теоретического F(x) протабулироваиы и сведены в таблицы, как показано в работе [39]. Выборочная таблица, широко используемая на практике, приведена ниже для значений л^Ю О и различных уровней значимости 2]3=0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01.

Задача проверки гипотезы о нормальности распределения: результатов измерений (критерий Саркади). Если нет достаточной уверенности чв однородной точности результатов измерений, то для проверки гипотезы о нормальном характере ошибок измеренийцелесообразно воспользоваться критерием Саркади, который нетребует знания параметров распределения. Кратко суть этого кри­ терия сводится к следующему.

По результатам наблюдений для рассматриваемой выборки вы­ числяют случайные величины

'Ht= x l -----= ----- {Vnx*-\-Xi),- i = l , 2, .. . , п, (7.4.30)-

Vn + 1

по которым рассчитывают новые случайные величины:

151‘

Далее, с помощью таблиц распределения Стыодента [39] нахо­ дят случайные величины

ней свободы Vi= « — i — 1, (£= 1, 2..., п — 2).

Если распределение результатов измерений в рассматриваемой выборке согласуется с гипотезой о нормальном характере их рас­ пределения, то случайные величины 8Ч должны подчиняться равно­

мерному распределению на отрезке (0,1).

Таким образом, чтобы проверить гипотезу о нормальном харак­ тере распределения величин хи (£=1, 2, ..., п) необходимо устано­ вить, подчиняются ли случайные величины б '; равномерному рас­

пределению. Эго можно сделать с помощью асритерия со2, рассчитав величину (п — 2) со2п-г по формуле

и сравнив полученное значение с граничной величиной критической области. В частном случае (надежность Р = 0,95) критическая

152

Если рассчитанное значение (п—2)а2п-2 будет меньше гранич­ ной величины, то можно с заданной вероятностью считать распре­ деление ошибок измерений нормальным.

Задача проверки гипотез на основании %2-критерия. В случае, если обработка опытных данных проводится с использованием ин­ тервального вариационного ряда, то проверку гипотез о виде эмпи­ рической функции распределения можно осуществить с помощью критерия соответствия %2. Практическое применение этого критерия предопределяется двумя причинами.

Во-первых, критерий %2 может быть применен тогда, когда часть или все параметры предполагаемого закона распределения априори неизвестны .и их нужно определить по результатам испытаний.'

Во-вторых, критерий %2 не требует построения упорядоченных вариационных рядов для наблюдаемых выборок и поэтому при мо­ делировании, когда можно получить выборки достаточно большого объема, является достаточно, эффективной вычислительной проце­ дурой.

Критерий х2 основан на распределении статистики

е

(7.4.35)

в предположении, что частость /пг-//я попадания значений случайной величины z в некоторый интервал [L,_i, Li] определяется непосред­ ственно по выборке Z \ , z2, . . . , г т , а оценки вероятностей появления событий Pi*= P(Li-[^.z^.Li) могут быть рассчитаны с помощью закона распределения F(z, а\, а2, ..., as), известного с точностью до некоторой группы параметров а ь а2, .... as. Если в качестве оценок параметров аи а2, ..., as использовались асимптотически эффектив­ ные оценки, определенные по результатам моделирования zb z2, ..., Zm, то при т—>-оо статистика (7.4.35) имеет %2— распределение с числом степеней свободы

k = L— s — 1.

Из множества различных критериев %2— критерий Пирсона от­ личается наибольшей мощностью, т. е. характеризуется минималь­ ными вероятностями ошибок второго рода. Минимально допустимое количество наблюдений в группе составляет примерно пять изме­ рений, а число групп следует выбирать порядка восьми, если при­ ходится пользоваться эмпирическими параметрами распределения.

Когда относительно выборки Z \ , z 2, . . . , z m предполагают, что она распределена по нормальному закону, то для проверки выдвинутой гипотезы Н0: F(z) =N{mz, orz2} нужно: