ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 64
Скачиваний: 0
Из (II.6.25) следует простой способ нахождения |
|
напряжения |
|||||||||||||||
трубы |
по |
заданному |
закону |
движения |
грунта: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
а = ий(у), |
vQ = |
Cpp, |
N 0 |
^ - B n p d ^ |
|
|
|
(II.6.26) |
|||||
при |
M |
= |
1, |
N = |
N0(y). |
|
|
|
|
|
N = N0 |
— 0 |
|
|
|
||
Для |
сверхзвукового |
процесса |
(Ж > |
1) |
при |
у < 0 . |
|||||||||||
Из |
первого |
уравнения (II.6.25) |
находим |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dN |
|
|
|
|
т,Д |
х |
|
|
|
|
|
|
|
0 < У < у , , - J J = - т . Т |
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
М2 — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(II.6.27) |
||
т . е . |
на этом |
участке |
наклон |
N (у) |
равен |
—т. Точка |
у = Уі опре |
||||||||||
деляется |
из |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ТУі + М 0 ( У і ) = 0 . |
|
|
|
|
|
(ІІ.6.28) |
|||||
При |
у > У і , |
закон |
N=— |
гу |
невозможен, |
т. к. при |
этом |
нару |
|||||||||
шается |
условие | І Ѵ | < | / Ѵ 0 | . |
Следовательно, на |
участке |
У і < у < |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N(y) |
= |
N0(y), |
|
|
|
|
(И.6.29) |
|||
причем |
точка у = ^ у 2 |
находится |
из |
условия |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4? |
= т- |
|
|
|
|
(п.6.30) |
||||
Далее |
зависимость |
N(y) |
строится |
по |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
W ( y ) - W 0 ( y 2 ) |
= T ( y - y 2 ) |
|
|
(И.6.31) |
||||||||
вплоть |
до |
пересечения |
N (у) |
с |
7Ѵ0 |
(_у): |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
N (Уз) = |
Ч (У2) + |
т (Уз - |
У2) - |
М> (Уз), |
|
|
|
(Н.6.32) |
||||||
начиная с |
которого |
N(y) |
= N0(y) |
и т. д. В реальных |
условиях |
||||||||||||
длины |
уи |
у2, |
Уз,... порядка |
1 — 10 |
м: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
У ь У з - у 2 |
, - . . < ^ р - ^ ^ ( ^ - і ) |
|
|
|
|
|||||||||
(h — толщина стенок, |
Епр |
— приведенный |
модуль |
трубы, |
v0max— |
||||||||||||
скорость частицы грунта). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
При M < 1 построение аналогично, но |
впереди |
фронта |
тру |
||||||||||||||
бопровод |
может быть сжат, т. е. при — ух |
< у < 0 |
N0 |
= 0, |
TV |
< 0 , |
|||||||||||
dN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
- ^ - |
= — т- Касательная |
к |
|
УІ |
из |
условия |
= — т |
|
сательную, найдем |
точку |
ее |
||
УѴ0 (у) |
с |
наклоном — f |
дает |
точку |
|
г фи |
У = |
Уи |
проводя |
через |
у, ка |
пересечения |
с отрицательной |
осью у |
|||
101
Этот отрезок касательной и дает N (у) для — ух < У < У Г Даль
нейшее построение аналогично случаю M > 1.
На основании точного решения задачи о прохождении стацио нарной волны вдоль длинного трубопровода в предположении упругого контакта с грунтом и постоянства предельного напря жения сдвига доказаны следующие особенности динамики трубо
проводов в грунте. |
|
|
|
|
|
|
||
1. Наибольшие напряжения возникают в |
участках |
трубопро |
||||||
вода, непосредственно примыкающих |
к фронту волны. |
|
|
|||||
|
|
|
|
С р |
|
|
|
|
2. |
Для сверхзвуковой волны |
(при |
М= |
>1) |
впереди |
фронта |
||
|
|
|
|
а г р |
|
|
|
|
труба |
остается |
неподвижной и |
защемленной |
в |
грунте; |
внутри |
||
фронта на расстояниях, больших 5—10 м (в |
зависимости |
от вели |
||||||
чин kx |
и Впр) |
труба практически движется вместе с |
грунтом с |
|||||
одинаковой скоростью, следовательно, существенное |
относитель |
|||||||
ное перемещение происходит внутри фронта на расстояниях, мень
ших 5—10 |
м. |
волны (М < 1) |
|
3. При |
дозвуковых скоростях |
относительное |
|
смещение |
и деформация трубы |
распространяются |
на участках |
перед фронтом волны; однако, длины сильно деформируемых уча
стков перед фронтом |
и внутри фронта остаются такого же поряд |
||
ка |
как и при M |
> J |
внутри фронта. Эти выводы особенно нагляд |
но |
следуют из |
рассмотрения динамического движения трубопро |
|
вода при постоянном |
касательном напряжении. |
||
4. Существенной характеристикой сейсмической волны по отно
шению к трубопроводу является величина растягивающей |
(сжи |
|||||||
мающей) силы |
N 0 |
= В |
(^рА |
, возникающей в трубе при ус- |
||||
|
|
|
V °У /max |
|
|
|
||
ловии равенства нулю относительного смещения. |
|
|||||||
При упругом |
контакте трубы с грунтом динамический коэффи |
|||||||
циент остается |
постоянным |
и |
равным |
2 для |
любого М>1; |
для |
||
M<\,ng^L |
|
при М=1 |
труба |
всюду |
движется |
со ско |
||
В случае to = const |
||||||||
ростью грунта и потому ng=l; |
|
для |
ЬАф- 1 согласно методу |
пост |
||||
роения растягивающей силы по заданному уравнению волны дина мический коэффициент не может превосходить значение 1.
Г л а в а III |
|
|
|
|
|
НЕКОТОРЫЕ |
П Р И Л О Ж Е Н И Я ТЕОРИИ К РАСЧЕТУ |
|
|||
С Л О Ж Н Ы Х |
СИСТЕМ ПОДЗЕМНЫХ |
СООРУЖЕНИЙ |
|
||
В главе |
I I построена сейсмодинамическая теория |
движения |
|||
сложных систем |
подземных сооружений |
различного |
назначения. |
||
В конечном |
счете |
рассмотрение |
движения |
сложной системы све |
|
дено к исследованию систем дифференциальных уравнений в част ных производных движения основных трубопроводов с усложнен
ными условиями сопряжения, записанными дифференциальными |
||||||
или |
интегро-дифференциальными |
уравнениями. |
На |
этой |
основе |
|
поставлена задача в виде систем обыкновенных |
дифференциаль |
|||||
ных |
или дифференциальных и интегро-дифференциальных уравне |
|||||
ний |
для сооружения, представленного |
системой |
с конечным |
чис |
||
лом |
степеней свободы. Прежде, |
чем |
рассматривать |
конкретные |
||
задачи, следует привести уравнения к |
удобному |
для |
вычисления |
||||||||
на ЭВМ виду. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ |
1. |
Приведение исходных уравнений |
к |
простой |
форме |
|
|||||
|
Жесткая стыкозка труб в узле. |
\.Iy |
= |
I z |
= |
O.Y*Рассмотрим |
|||||
колебания |
трубопровода |
со сложным |
узлом |
под |
действием |
вол |
|||||
ны, распространяющейся |
вдоль оси х. |
|
Пусть |
в |
направлении |
оси |
|||||
х справа и слева от узла расположены трубопроводы |
диаметра |
||||||||||
ми |
Д |
и Д |
с коэффициентами взаимодействия |
kx и |
kx соответ |
||||||
ственно. Остальные трубы, сходящиеся в узле, лежат в плоско
сти |
yOz. |
|
|
|
|
|
|
Пусть |
участки |
(секции) |
труб |
имеют |
одинаковые длины |
l' = |
l" = l |
и жестко |
соединены |
между |
собой |
сложным узлом. Для |
поперечных труб также принимаем жесткую стыковку со сложным узлом.
Разбив каждый из продольных трубопроводов на отрезки дли
ной I, получим уравнения динамики |
рассматриваемой |
системы. |
||
Используем |
уравнение (і 1.6.14'), причем положим |
согласно усло |
||
виям задачи справа от узла |
|
|
|
|
M |
=тІ,В'п=в\*ДпкхлІя |
= кЖкхІ = |
кхѵ>, |
( I I I . l . l ) |
ю з
слева |
от |
|
узла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Мп_х |
|
= |
ml, |
Вп_х |
= В, |
^Дя_1кХгЯ_11 |
|
|
|
= ^ к ' х |
1 ^ к х ^ |
(Ш.1.2) |
|||||||||||||||
Тогда |
для «-го узла |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
U |
|
-\- ш |
2 |
и |
|
— а |
' |
|
|
\ . |
|
|
, = |
о2 |
|
|
+ |
|
т' |
• " ' " J " - 1 - + |
-r" |
|
|||||
л |
|
л |
|
и , — au |
л - 1 |
ß„ Ua |
|
I |
2 |
||||||||||||||||||
|
1 |
л |
|
|
л я + 1 |
|
|
|
г л Ол |
1 |
|
|
|
|
2 |
' |
|
||||||||||
здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(III.1.3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"г--" + ^ ) У З Л А + 4 - ( ^ І Р ^ й - р ) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, ( я ) у з л а |
, |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д-yz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
X тр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ал = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
8 |
|
|
|
|
„ W |
Узла + |
^ |
+ £ |
1 , |
' |
|
|
те(л,/3ла |
|
|
|
|
|
|
^+ШІ |
, |
|
(III. 1.4) |
||||||||
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
+ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
xyz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
£<л) узла _j_ |
^ |
( |
^ т |
р |
+ |
ТрУ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
узла |
, |
|
|
+ |
|
|
, |
|
|
|
||
т'2 = |
|
|
|
|
|
|
x тр |
|
|
|
|
|
//2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
лг тр |
|
|
|||
4 ( и ( л » / з Л а + |
|
|
^ . |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Напишем уравнения для каждого участка левого и правого трубо |
|||||||||||||||||||||||||||
проводов в отдельности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Для левых секций труб, положив п -»- п — 1, В' |
В"', m(xy\zy3™ = |
||||||||||||||||||||||||||
= 0 , |
kx |
— k" |
m |
|
= m, |
к[п)узла |
|
= 0, |
из |
|
(III. 1.3) и (III. 1.4) получаем |
||||||||||||||||
|
" |
|
. - |
I |
|
+ ш і А , - . " |
« ' |
|
( " л |
+ «.-Л |
|
|
= |
|
( Рц + |
Т"2) "о, л - г |
(Ш.1.5) |
||||||||||
здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
+ |
— |
*дгтр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дг тр |
|
|||
2 |
|
|
2 |
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая = ал - 1, = а |
|
|
|
|
(III.1.6) |
|||||||||||
Ш 11 |
= |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
от77/ |
|
|
|
|
|
m " / |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
ß2 |
_ fi2 _ J L i i ï E - / - т " 2 |
|
- |
4т" / |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Г л - 1 |
|
Г Ц |
4 4 т "/и">/ 1' 1 —— |
I1 |
|
|
—~ |
|
|
|
|
|||||||||||
Для |
правых |
участков |
труб |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
" л + і + |
< |
|
" „ + 1 - |
« |
( " л + ? |
+ « „ ) = ( |
|
PÎ + Т'2) «о, л+і' |
(ИЫ.7) |
|||||||||||||||
104
где |
|
|
|
2В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v jr тр |
(U,2 |
|
Ш2 , , |
Т |
|
"4~ |
k x |
тр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
= |
|
|
|
|
ал = |
|
ал = |
а |
|
(III.1.8) |
|||||
1 |
|
л + |
1 |
|
|
/га'/ |
|
|
|
m ' / |
||||||
|
|
Ч2 |
|
— R2 |
— |
8 |
k j c |
ТР v ' a |
— |
ѵ |
' 2 |
|
_ |
Л^ІЕ |
|
|
|
|
л+1 |
|
— Pi |
— |
4 |
m'{ ' i |
~ |
|
T |
|
4 « 7 |
|
|
||
Итак, колебания трубопроводов со сложным узлом и отдель ными участками труб по обе стороны узла изучаются на следую щей системе обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами;
К-1 |
+ |
ш п |
" л - ! - |
|
<*' ("л |
+ " л - 2 ) |
= |
( Pu + f2) |
"О, |
л-1 |
|
|
||||||
" л + |
% |
U |
n |
* |
% |
"л+1 - |
а " |
"л-1 |
= |
К |
"ол |
+ |
Т„ ^ІГ- |
+ |
Т л |
И,О,2л-1 |
||
«я+1 |
+ |
Wl |
|
"л+1 |
- |
а |
("„+2 |
+ "я ) = |
( PÎ + |
Т' 2 ) |
"о, л + 1 |
|
(III.1.9) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первое |
и |
третье |
уравнения |
(III.1.9) |
справедливы |
для |
любого |
|||||||||||
участка трубопроводов. Число первых и третьих уравнений систе мы (III.1.9) равно количеству рассматриваемых участков слева и
справа |
от сложного |
узла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В |
полученной |
|
системе |
|
уравнений |
перейдем |
к |
безразмерным |
|||||||||||
координатам |
|
|
|
C„t |
— |
|
и„ |
— |
|
иПп |
г, |
|
cl |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ш.1.10) |
|||||||||
|
|
|
|
^ |
- |
Г ' |
" |
л |
= - Х ' й о л = |
-г* |
M |
= - |
f |
|
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
" л - 1 + |
">П « л - 1 |
- |
|
«' |
(Йл + |
« „ _ , ) |
= |
| ц |
Й0 > |
я _ ! |
|
|
|
|
|||||
— |
. - 2 |
- |
—'"— |
|
|
- " |
— |
D .2— |
, |
-,2 |
"О, л+1 |
! |
»2 и 0, я-1 |
||||||
« я + % и п - |
ао и л + і - |
а о м л - і = h |
иоп + Ï о — 2 |
+ Т |
— 2 — |
||||||||||||||
"л + 1 + |
°>î "л+1 |
- |
а |
("л+2 |
+ |
"я ) - |
Mo, л+1 |
|
|
|
(III.1.11) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
„2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— 2 |
|
|
Ж2 |
|
|
' |
а |
== |
М* |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
( 1 + f) + M2c+ |
|
|
|
+ M j 2 ) |
|
|
/ - |
|
1 '2 |
|||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
m o = ^ |
|
|
|
|
|
|
« о |
|
|
|
|
' * о — |
Af21 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ _ |
|
1 |
'2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
M„ |
|
|
|
7 — 8 - ^ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
а 0 _ |
4AJ 2 |
|
m 0 |
' Я о |
|
A I 2 \ |
|
m o |
|
|
|
|
|
|||
105