ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 69
Скачиваний: 0
kN
|
**4 |
|
|
|
|
|
) K |
|
|
kl) |
u k - \ |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
K,np(k) |
узла |
+ |
k x , k - l |
l k - \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
( |
|
"~ W «I |
|||
4 |
§ |
V |
|
~ |
°*W I "oft |
H |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
О, A + l |
|
|
K^k~l |
|
kx, |
ft—1 'ft-1 |
0 - 8 i » ) « o , * - i = Q * - |
( n - 5 - 2 9 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если полагать, |
что |
|
внешние силы отсутствуют, |
то |
Qk = о- Со |
|||||||
поставление (II.5.14) и (II.5.29) указывает на незначительную
разницу |
в коэффициентах. |
|
|
|
1. |
С |
учетом податливости |
стыковок |
уравнения движения |
узла |
в абсолютных координатах |
при / = Іг |
— 0 (II.2.33) прини |
|
мают |
вид |
|
|
|
mrv.—£_ = О
-туг
, du
|
|
|
— В |
-s± |
- |
(u |
— |
a°\K.- |
|
|
|
|
|
X |
дх |
|
y*x |
|
"x ) , |
Ч Л |
|
Переходим |
к |
новым |
обозначениям: |
|
|
|
||||
И°^"°Л' |
|
U'x ^ |
U n > и х |
- * |
" п . |
В |
|
|
в л - 1 |
|
Аналогично |
(II.5.5—6) |
определим |
|
|
|
|||||
п |
|
ип+1-ип |
|
M ... |
|
с |
|
|
||
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' л - 1 |
|
|
|
^ л |
|
'„-г |
|
2 |
и п |
|
t |
, |
dx |
|
|
+ |
|
л - 1 |
л - 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
' л - 1 |
|
|
|
С другой |
стороны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
^ |
^ |
|
' |
* |
* |
дх Х=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(II.5.30)
(II.5.31)
(П.5,32)
92
Учитывая, что
/ И 1 |
Л ^ |
u 0 , л+1~ " о л |
|
1п |
" |
(II.5.33)
'J2
' л - 1 |
• , |
(II.5.34) |
|
||
J |
^ л - І ^ л - І ' л - 1 |
|
л - 1 " л |
|
' л - 1 |
|
+ ( " О , л - 1 - |
й л - 1 ) ] |
и подставляя (II.5.31) и (II.5.32) в (II.5.30), после ряда выкладок получаем
|
< Л + (Кп) |
у з л а + KN-X |
+ * Ѵ ) < - Кѵ/п |
- |
|
|||||
|
|
|
|
— V |
tin |
- кх |
и0п |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
\ |
п |
|
|
|
х |
J |
х |
|
|
4- [ |
кД kr„ |
1„ |
в„ |
I и |
|
|
|
|
|
|
м" *" п |
- -S. |
^ 4 ^ - ( 3 " о л |
+ " о , л + і ) |
(ІІ.5.35) |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
m 1 |
+ ( f e r + |
Ä |
" |
+ |
Ч ) X |
|
||||
^ л - І kx, л - 1 ' л - 1 |
|
|
( 3 " 0 л |
+ |
" о , л - і ) |
В |
рассматриваемом |
случае имеем N — 2 внутренних |
и 2 |
крае |
|
вых узла. При известных условиях на краях системы |
число |
||||
уравнений равно числу неизвестных. |
|
|
|||
2. |
Пусть I =f= Ігф |
0. |
Тогда, поступая как и выше, |
и |
поль |
зуясь |
результатами § |
4, |
имеем |
|
|
93
|
xyz |
п |
|
\ |
х |
X |
х |
\ |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
ср° COS |
t |
+ |
-j?- Sin Ѳг t |
+ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9yC0Sbyt |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
7>(n) |
узла |
I |
y |
|
|
|
y |
о |
|
|
|
— л r |
u0n |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ |
( a |
2 |
- a 2 |
?° cos6^ + ^ s i n 6 ^ |
+ |
|
||||
|
|
|
г |
0 |
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (II.5.36) |
X |
cp°y cos Ѳу * + І s |
i n Ѳ у / + |
J a r s i n |
Ѳу (/ - |
x)rfx |
|||||||
|
|
|
|
|
y |
|
y о |
|
|
|
|
|
M ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т'а'п |
+ (т-• + -ТкЛякхйІя |
+ KNAu„-KN. |
|
ul |
+ |
|||||||
|
|
\ |
n |
|
|
|
x |
j |
|
x |
|
|
^ |
n |
xn |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
KÖU0n |
uo,n+i) |
|||
M,
X u - K ,
X
жДп-1кх, л-1 В л - 1
' л - ! » " - 1
К Д П - \ *Jf, л - 1 ' л -
1 ( З И 0 „ - «О, л - і )
Полученные системы интегро-дифференциальных уравнений также легко сводятся к обыкновенным дифференциальным урав нениям.
Здесь могут быть рассмотрены сложные узлы типа колодцев, простые стыки, различные модели грунта. Могут быть приняты во внимание и присоединенные массы грунта введением коэф фициентов (і + ^2 . ) и ( l + - ^ -
Выведем уравнения з конечных разностях для системы под земных трубопроводов с узлами — раструбными стыковыми соеди нениями (рис. 50).
94
Пусть п-й |
узел — раструб |
стыка — заделан в |
Левую |
трубу. |
|||||
Тогда |
в системе (II.5.35) можем положить |
|
|
|
|||||
|
|
|
N An) |
|
(л) \ |
|
УѴ |
(л) |
|
|
|
|
|
|
•г |
||||
Если |
введем |
обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
х(пУ |
|
т х у г = |
т п • |
К (я) узда |
Д ' * " ) |
с т |
к |
|
то (II.5.35) принимает |
вид |
|
|
|
|
|
|
||
к ( . , + к « |
; + с с т к |
( « ; - |
« о . ) + K N - |
„( " л - " л ) |
= 0 ' |
|
(»-5.37) |
||
|
L |
|
4 |
I |
х(п) |
|
|
|
|
(л) стк
( Ѵ + » . ) ^ + ^ т ( « : - « : - і ) + |
+ |
|
X ( С і - » а . - і ) + ^ ( я ) |
( « : - « ; ) = о |
|
|
|
(II.5.38) |
^ " л + ^ к - ^ о + ^ - ^ л ^ л ^ л Х |
||
X [ий - « o „ ) + " F л Д л ^ л 'л ( " я + 1 |
- |
"о. я+і) + |
+ 4 « ( " • - " • ) 8 8 |
0 |
|
Итак, в системе подземных трубопроводов с раструбными стыками имеем для каждого я-го стыка одно уравнение типа (II.5.37) и систему двух уравнений типа (II.5.38), где неизвестны
«л-1 - "л - "л - " я + 1 . |
^ ( Я Г |
п -f-1 |
|
В левом я — 1 и |
правом |
стыках имеем три аналогич |
|
ных уравнения с соответствующей |
заменой и по три дополни |
||
тельных неизвестных и л _ 2 , |
un_l , |
Nx_ п_1 и т. д. Как видим, урав |
|
нений всегда на два меньше, чем неизвестных. Для замкнутости
задачи необходимо привлечь условия на |
крайних |
узлах |
(правых |
и левых концах трубопровода). Среди |
стыков |
могут |
быть и |
сложные узлы; в этом случае добавляются соответственно неиз
вестные |
и |
дополнительные уравнения. |
|
|
Если |
в |
полученных |
выше уравнениях положить и0 |
= и\ , |
и1=и2, |
и2 |
= « g и „ = |
и л + 1 и сложить соответствующие |
сход |
ные уравнения, то число степеней свободы вдвое уменьшается. Приложения полученных здесь результатов к расчету систем
трубопроводов даны в гл. III.
95
§ 6. Стационарное решение для длинной трубы и упрощающие обстоятельства
Напряжение в подземных трубопроводах при прохождении сейсмических волн существенно зависит от длины волны, ампли
туды |
и |
ее более тонкой структуры. |
Наиболее |
прост |
случай |
||||||||||||||||||
стационарной |
волны, |
проходящей |
вдоль |
бесконечно |
длинного |
||||||||||||||||||
трубопровода. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Пусть |
x — направление |
оси; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
и (x, |
t) |
— продольное |
перемещение |
сечения |
х |
трубы |
в |
мо |
||||||||||||||
мент |
t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
- |
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"Р |
J |
_В_ |
|
|
|
|
|
|
(II.6.1) |
|||||
— приведенная жесткость |
трубы; |
|
kl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
В = EF — жесткость |
на |
растяжение |
(F — площадь |
сечения |
||||||||||||||||||
трубы). Предполагается, что трубопровод имеет стыки |
участков |
||||||||||||||||||||||
труб |
длиной |
/ каждый с коэффициентом |
податливости стыка |
KN |
, |
||||||||||||||||||
так что при действии растягивающей силы N появляется скачок |
|||||||||||||||||||||||
перемещения |
стыкуемых труб |
Д« = |
NjKN. |
Если |
Дн |
— наружный |
|||||||||||||||||
диаметр |
|
трубы, |
Д |
и |
о — длина |
|
и |
зазор |
стыковки, |
то |
KN |
= |
|||||||||||
пД |
L |
|
|
I Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кГ/см2). |
|
|
||
= — О с т |
к ; |
I — О с т к |
может |
быть |
порядка |
20—100 |
|
При |
|||||||||||||||
движении трубы эффективная масса единицы ее длины р |
F |
не |
|||||||||||||||||||||
сколько |
больше действительной |
за |
счет |
присоединенной |
массы |
||||||||||||||||||
грунта. Уравнение |
движения |
трубы в грунте будет иметь |
вид |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
оР^Ш~Р |
|
|
2 |
( " - и о ) . |
|
|
|
|
(П.6.2) |
||||||||
причем |
а т р — скорость |
звука |
в |
трубе, р — частота |
свободных |
||||||||||||||||||
колебаний |
абсолютно |
жесткой |
трубы |
в |
грунте: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
гпр* |
|
|
|
г |
|
|
Р п р ^ |
|
|
|
(ІІ.6.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а и0(х, |
t) |
— закон |
движения |
грунта |
вдоль |
оси |
трубы |
при |
сей |
||||||||||||||
смическом воздействии или взрыве. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Если сейсмическая волна движется со скоростью Ср |
и |
внутри |
||||||||||||||||||||
фронта |
стационарна, |
то |
расстояние |
от фронта |
до сечения |
.к тру |
|||||||||||||||||
бы |
в |
момент |
t равно |
|
у = |
Ср t — x, |
|
|
|
|
|
|
|
(II.6.4) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
так |
что |
при |
t — 0 сечение |
х = |
0 |
совпадает |
с |
фронтом |
у = |
0 |
|||||||||||||
(—оо<л:<оо, |
— о о < £ < о о , |
|
— сю < у < о о ) . Фактически |
наблюдае |
|||||||||||||||||||
мые |
движения грунтов |
обладают |
свойством |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
0, |
|
|
|
у |
< |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« о ( у ) = |
/о(У)=И=0, |
0<y<Lm |
|
|
|
|
|
(II.6.5) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
y>Lm |
|
|
|
|
|
|
|
||
66