Файл: Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 66
Скачиваний: 0
стадии. Выражения для угловой скорости и распора полу чим из (5.65) и (5.63):
Мр с |
ср = фоcos at -|- |
|
|
(6 —у) a sin at-----— (1—cos at) |
(5.66) |
||
2г°- |
0 |
|
|
|
H-. 2фо г sin at + |
|
|
Mr |
−(6 —у) cos at -f- |
sin at' |
(5.67) |
|
|
аѲ |
|
Полученные выражения справедливы до момента времени,
когда скорость перемещений будет равна нулю (ср = 0) или когда распор достигнет предельной величины Н = # пР.
В первом случае, найдя из условия ср = 0 время г1™и подставив его в (5.65), можно получить выражение для ср т. Во втором случае необходимо рассмотреть дальнейшее перемещение балки при Н = # пР. Определив из выражения (5.67) при указанном условии время tx и подставив его
в (5.65) и (5.66), можно найти ср2 и фц.
Дальнейшая деформация балки после достижения рас пором предельной величины будет подчиняться уравнению
ml3 ■ |
p(t)l3 |
-Мп |
|
|
м„ |
|
|
||
24 |
Ф |
|
8 |
"Я п р 2 : |
|
|
|||
|
g |
^о~Мі . |
^ _ |
Мр+ Т/пр z |
|
||||
где |
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
2 ~ |
* 0 |
’ |
Y |
Мр |
|
|
Начальные условия при і = |
0 следующие: ср = срь ср = срх. |
||||||||
Решая последнее уравнение, |
получаем |
|
|
||||||
|
|
|
24Мр |
(62—у2)^ |
Л |
+ Фі5 |
(5.68) |
||
|
|
|
ml3 |
20 |
|||||
|
|
|
12Мр |
|
|
|
|
+ фі t + Фі- |
(5.69) |
|
|
|
і ml3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнения ср = |
0 можно определить время максималь |
||||||||
ного перемещения (t т) и, подставив его в (5.69), найти вы ражение для ср т.
В качестве примера получим зависимости для расчета конструкций на действие внезапно приложенной постоян ной во времени нагрузки. При этом будем пренебрегать влия-
197
пнем распора в упругой стадии, считая опоры достаточно податливыми. Вначале рассмотрим случай, когда распор в пластической стадии возрастает непрерывно и не дости гает предельной величины при наибольшем прогибе (пер вый случай). Этот случай позволяет получить зависимости для определения максимальной величины распора и устано вить расчетный случай путем сравнения Н т н Я пр.
Из (5.67), учитывая полученное ранее выражение угло вой скорости в начале пластической стадии'(§ 12), находим
# = - ^ - [ß sin at-\- (1—Y)( 1—coso7)], |
(5-70) |
где
0,76г . d,_.-Ц^/'-сЕ'6 M l − 0.5g).
_ |
n p |
|
~ T |
|
r = f 1 — 0,94(1—у)2 . |
Тогда из (5.63) и (5.70) получим выражение для скорости:
Фі = Ң = [ßcosa^ + ( l —у)sin at]. (5.71)
Приравнивая срг нулю, из (5.71) приходим к зависимости
для определения времени максимального |
перемещения: |
||||||
tg atx |
|
. Используя это выражение, из (5.70) полу- |
|||||
чаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 - ѵ )в + Ря - 7 + і ] ; |
|
|||
|
|
Фт |
с |
|
|
(5.72) |
|
|
|
22 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Максимальный прогиб |
|
I |
|
|
|||
' |
|
|
, |
|
|
||
|
|
Упг ~ Уо"Ь фт |
2 |
|
|
||
м 0/а |
1 + |
А « І ( , (1- у ) 2+ |
ß2 - у + |
1) '. |
(5.73) |
||
9, 6В |
|||||||
|
У |
|
|
J |
|
||
198
Далее рассмотрим случай, когда распор достигает пре дельной величины НпР раньше, чем прогиб балки дости гает максимальной величины, и сохраняет свою величину при дальнейшем деформировании балки.
Приняв в (5.70) Н = НпѴ и обозначив
получим
Yi = ß sin |
atx + |
(1 — у) (1 — cos at^-, |
(5.74) |
у 2— 1 = |
ß sin |
ati — (1 — у) cos atlt |
(5.75) |
где
Y a
44p—Hnp 2
Mp |
Y + Y i ' . |
|
tx — время достижения распором предельной величины. Из выражений (5.63) и (5.70) найдем зависимости для определения перемещения и скорости в момент времени t^.
Фі = ^ £ І ; |
|
. |
(5.76) |
||
|
|
2z |
|
|
|
Ф: = ^ Я |
( Д |
) = |
^ |
Ч |
(5.77) |
где |
|
|
|
sin atv |
(5.78) |
и — ß cos at1 + (1 — у) |
|||||
Из (5.68) и (5.69) при |
6 3 = |
1, |
учитывая (5.76) |
и (5.77), |
|
получаем выражение для максимального угла поворота балки:
Фі ml3 |
Mp c |
u* |
' |
(5.79) |
Ф т Ф і 48Mp (7 2 -1 ) |
2z3 |
Y i + 2 (Y2- |
1). |
|
Входящая в эту формулу величина |
и зависит от tx, |
кото |
||
рая определяется из (5.74). Выразим и непосредственно че
рез ух, для этого найдем |
. Очевидно, |
|
|
du _ du |
dtt |
|
|
dyx |
dtx |
dyi |
|
Дифференцированием из (5.78) и (5.74) находим |
|||
= — üf[ß sin ati + (у— 1) cos a tj = — a{ Y2— 1); |
|||
dtX |
|
|
|
dtx — a [ß cos йФі + (1 —Y) sin |
= au |
||
199
или |
dtу |
_ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dy1 |
аи |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
du __ |
Y2— |
1 |
|
Ѵ+ Ѵі — 1 |
|
|
|||
dyi |
и |
|
|
и |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Интегрируя полученное |
дифференциальное |
уравнение, |
||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И- — С ѵ |
+ Т і — і ) а |
I Q |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
54. |
Графики |
зависимости |
k |
||||
|
|
от у для шарнирно-опертых желе |
||||||||
|
|
зобетонных балок |
с |
распором |
и |
|||||
|
|
без |
распора |
|
|
|
|
|
||
|
|
кривые 1—3: fe = f(v); 1 — с= 80, (1 = 1 |
%; |
|||||||
|
|
2 — с~80, |
(1=0,5%; |
3 — с=оо; |
кривые |
|||||
|
|
4-7: |
*np-f(v); |
4 — с |
=80, |
(1=0,5%; 5 — |
||||
|
|
с-80, |
(і=1%; |
6— с= |
со, |
(.1=0,5%; |
||||
|
|
|
|
|
7 — с = со, |
(і=1% |
|
|
||
Постоянную интегрирования С находим из условия: |
|
|||||||||
при уі = у 1т = У (\ — Y)2+ |
P2 — у + |
1 |
= |
0 , т. е. и = |
0 . |
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С = .(Т + Ѵ іт -')а . й = (у-^— 1)*_(-уа— 1)а, |
|
|
||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У2т —У— Tim = 1 |
(1 —Y)2+ ß2+ 1■ |
|
(5-80) |
|||||||
Учитывая найденные зависимости, после преобразования имеем
1_ |
М012 |
l,2d»(7i+ß3) ~ |
(5.81) |
||
Ут = Уо + Ч>т 2 |
9,6 В |
|
Ѵ(Ѵ2— 1) . |
||
|
|
||||
При отсутствии распора 71 = |
0, у 2 = |
у, |
и это выражение |
||
примет вид (3.58). |
|
|
|
рис. 54 изображе |
|
Исследуем полученные формулы. На |
|||||
ны кривые изменения величины k = |
— |
в зависимости от |
|||
|
|
|
уо |
|
|
У — Мп построенные для железобетонных балок с распо-
200