Файл: Несенчук, А. П. Тепловые расчеты пламенных печей для нагрева и термообработки металла учеб. пособие.pdf

Частные производные в выбранной точке заменим через разно­ стные отношения (6.29) — (6.32):

Последнее выражение, называемое уравнением Э. Шмидта, имеет большое практическое применение как при численном, так и при графическом решении задач нестационарной теплопровод­ ности.

106

Формула (6.39) позволяет найти температуру для всех узлов горизонтального ряда (например, ряда т) по известной температуре в узлах предшествующего ряда (т— 1). Так как начальными усло­ виями (при т = 0) задается распределение температуры по сечению тела (известна температура в узлах, находящихся на оси абсцисс), то можно последовательно найти температуру в узлах первого, вто­ рого и других рядов.

Рассмотренная сетка (рис. 6.17) удобна для численного интег­ рирования дифференциального уравнения (6.33) при граничных условиях первого рода (в любой момент времени известна темпера­ тура на поверхности тела), так как в этом случае граничные прямые х — 0 и х = Х принадлежат самой сетке.

При расчете многослойных стенок можно использовать рассмот­ ренный выше метод численного интегрирования. При этом толщина одного из слоев принимается за основной, а толщины остальных слоев многослойной стенки приводятся к эквивалентным.значениям, используемым в дальнейшем для расчетов. Так, если рассматривает­ ся трехслойная стенка, то эквивалентные толщины второго и третье­ го слоев можно приближенно определить из выражений:

При этом справедлива зависимость (6.39) для расчета температуры в каждом из слоев эквивалентной стенки.

Температуру на границе раздела слоев многослойной стенки рассчитываем, используя следующие зависимости:

tP, п= ^0(Д.т)2энв, т — ^(Дк)2экв. т-1+|7р-1, т - і ~ ^(Дк)2экв, т-і] *1, (6.42)

где

(Ах) 2ЭКВ

ki =

( Д х ) і + ( Д х ) 2экв

р— номер расчетного участка (A-c)i первого слоя, примыкаю­ щего ко второму слою многослойной стенки.

107

Температура на границе раздела второго и третьего слоев

ts, т — І0(Ах)3эка, т — і ц & х ) 3,л .й, m -l+[^-1, го-1—^(Дх)3э[(п, m -l] &2, (6 .4 3 )

где

(Дя)зэкв

W ) зэкп-)- (А'Ѵ) зэки

s — порядковый номер расчетного участка (ДлОгэіт второго слоя, примыкающего к третьему слою составной стенки.

Чтобы определить температуру наружной поверхности такой составной стенки, можно использовать приближенный метод, кото­ рый состоит в том, что процесс внешнего теплообмена заменяется процессом теплопроводности в дополнительном фиктивном слое с термическим сопротивлением, равным термическому сопротивле­ нию теплоотдачи. В этом случае температура наружной поверхности

iq, т — ( t q —l, т - 1 — t в) ^3, (6.44)

где

Ач/аз

ka—

( А л ) з э и в - Ь ^ ч / а з

— коэффициент теплопроводности первого (основного) слоя составной стенки, ккал/м-ч-° С (0г/лг-°К);

аз — коэффициент теплоотдачи от наружной стенки к воздуху,

ккал/ м2■ч-° С (вт/м2-° К ); (Д.ѵ)зэкв — толщина расчетного слоя материала, прилегающего к на­

ружной поверхности, л і ;

q — порядковый номер расчетного участка (Дя)зэкв наружно­ го слоя составной стенки.

Если необходимо решить дифференциальное уравнение (6.33) при граничных условиях третьего рода (известны температура окру­ жающей среды и условия теплообмена между телом и окружающей

где /с — температура окружающей среды.

Сетка строится так, как показано на рис. 6.18.

Таким образом, в рассмотрение вводятся точки, не лежащие в области твердого тела. Определяем температуру в дополнительных точках, отстоящих от рассматриваемой области на расстоянии Д.ѵ/2,

(to, m ГІ t h + l , m ) -

108

Производную ( - ^ г ) г.= ѵ>входящую в условие (6.45), заменяем

разностным соотношением

Температуру на поверхности тела (в точке В) берем как среднее арифметическое температур в точках Л и С:

Рис. 6.18. Расчетная схема для гранич­ ных условии третьего рода.

Граничное условие (6.45) запишем так:

После некоторых преобразований (6.48) получим выражение для расчета температуры в дополнительном узле (точка С)

где

2Ах

4— 2К/а+Ах ‘

Температура на поверхности плоской стенки (в узле В)

где

Дх

5= 2%/а+Ах '

109