Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

Рис. 15. Блок-схема моделирования х (t) при равномерном за­ коне распределения а

Операторному уравнению (146) соответствует структурная

схема моделирования х (t), представленная на рис. 15.

Таким образом, уравнение (141) позволяет построить алгоритм моделирования математического ожидания выходной координаты линейной системы с одним случайным параметром, распределен­ ным по закону (131).

Теперь передйем к моделированию корреляционной функции. Составим уравнение относительно второй начальной моментной функции выходной координаты М [х (іг) х (£2)] = rxx (tx, £2), ко­ торая связана с корреляционной функцией известным соотно­ шением

kxx (ti, t2) = rxx (^, t2) — X (tj) X (t2).

Для составления уравнения воспользуемся двумерным преоб­ разованием Лапласа функции х (^) х (t2):

Х 2 (р, <7, а) = X (р, а) X (q, а) =

Ф„ ( p ) V ( p ) Z ( p ) Ф 0 ( q ) V ( q ) Z ( q ) _

Применим к выражению (147) оператор усреднения по пара­ метру а и после простейших преобразований получим уравнение относительно изображения Rxx (р, q) — М [Х2 (р, q, a)l, кото­ рому соответствует функция-оригинал rxx (tlt t2):

t V ( q ) - V ( p ) ] Rxx {p, q) =

Полагая, что изображению К (р) соответствует функция-ори­ гинал V (t), а Фо (р) Z (р) соответствует х0 (^) (выходная коорди­ ната при нулевом значении параметра а), и применяя к выраже-

56

нию (148) обратное преобразование Лапласа, получим следующее интегральное уравнение относительно rxx (fx, t2):

12

ходимости учитывать закон распределения случайного пара­ метра а. Отсюда следует вывод: при известном математическом

ожидании X (t) системы (130) корреляционная функция выходной координаты kxx (tlt t2) не зависит от закона распределения слу­ чайного параметра.

Если закон распределения случайного параметра является равномерным, то вторая начальная моментная функция rxx (tx, t2) может быть определена и из другого интегрального уравнения. Для вывода этого уравнения применим к Х 2 (р , q, а) свойство, записываемое формулой (135). После несложных преобразований

Здесь X (p, Ci) и X (p, c2) являются преобразованиями Лап­ ласа выходной координаты при значениях параметра сх и с2:

ходная функция системы Z (р) = 1, а передаточная функция представляется в форме

1

Обозначая через k (t) функцию-оригинал, соответствующую

изображению , путем обратного преобразования Лапласа

выражения (153) получим следующее интегральное уравнение относительно rxx (tlf t2):

} k ( t 1— x)xrxX(x, t2)dx-f f k{t2 — x)xrxx(t1, t ) dx —

которое должно решаться при граничных условиях (150). Рассмотрим способ моделирования математического ожидания

линейной стационарной системы при наличии нескольких нор­ мально распределенных параметров. Предположим, что случай­ ные параметры а0 і = 1, 2, . . ., k в системе (129) распределены нормально с нулевыми средними значениями и корреляционными моментами М [ага у] = оц, г, j = 1, 2, . . ., k. Тогда преобра­ зование Лапласа выходного процесса системы можно представить в следующей форме:

k

где ß = 2 at R( (p) является нормально распределенным случай- t=l

ным параметром с нулевым средним значением и дисперсией

k k

И р) і2= 2j È<ii/#i(p)fi/(p),

‘=1/=і

с — знак комплексного сопряжения; а (р) — рациональная дробь, нули и полюса которой расположены в левой полупло­ скости комплексной переменной р. Нормируя случайный пара­ метр ß:

ß = ßH<7 (Р)

преобразуем выражение (154) к виду

м(Р) Z (р)

х(Р) — L (pH - ßHo (р) '

58

На основании формулы (144) для «неусеченного» нормального закона распределения нормированного параметра ßH(с1 — —оо, с 2 — со) получим

В заключение рассмотрим пример, иллюстрирующий приме­ нение изложенного метода к анализу системы со случайным пара­ метром.

Пример. Рассмотрим динамическую систему, структурная схема которой представлена на рис. 16. Передаточная функция системы

1

Ф (Р) = ' V (р) + а

где

^ > = 7 > Т Т >

зависит от случайного параметра а, распределенного равномерно в интервале [с1( с2]. При исследовании импульсной переходной функции системы необходимо положить z (t) = 6 (/), Z (р) = 1.

Математическое ожидание и корреляционная функция импульсной реакции исследуемой системы определяются путем совместного решения операторных

59