Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

Обратное преобразование Лапласа выражений (146) и (153) с учетом приня­ тых обозначений (152), (155) — (157) приводит к следующей системе уравнений

при граничных условиях

x (0) = T ;

(160)

rxx (0> 0 = бхдс (^> 0) = Тх (I).

Моделирование системы уравнений (158)—(160) проводилось на цифровой вычислительной машине. Реализация на ЦВМ уравнения Вольтерра второго рода (158), эквивалентного системе обыкновенных дифференциальных уравне­ ний, не представляет затруднений. Моделирование функции двух переменных гхх (Ц> ^2) согласно уравнению (159) может быть проведено более экономичным

методом, чем метод сеток. Симметрия функции гхх (Ц, t2):

r X x U l ’ ^2) = Г Х Х (Ц> Ц)>

позволяет проводить моделирование в области Ц > t2. Для каждого фиксирован­ ного значения Ц при определении -гхх (Ц, согласно выражению (159) прово-

60

дится решение уравнения по переменной t2. При этом необходимо, чтобы в па­ мяти машины запоминалось

i1

(для любого фиксированного значения t2) через линейную систему с импульсной переходной функцией т] (t). Таким образом, при определении X (Ц, і2) проводится интегрирование по переменной tx при каждом фиксированном значении t2 = jh, j = 1, 2, . . ., N. Расчет rxx (Ц, t2) согласно выражению (159) будет состоять тогда в интегрировании по переменной t2 при каждом фиксированном значе­

Во всех этих вариантах математическое ожидание параметра неизменно и равно 3,0, а стандартное отклонение о меняется от 0,29^ (в первом варианте) до 1,16 (в последнем варианте).

На рис. 17, а показано математическое ожидание x (t) импульсной переход­

ния импульсной переходной функции исследуемой системы для вариантов (161). Обозначения на графиках соответствуют номерам вариантов.'

гft)

ОМ

0,3

0.2

0.1

0

61

2. Линейные системы управления со случайным скачкообразным изменением коэффициентов

Изучение влияния мультипликативной помехи на процесс управления, исследование динамики ненадежных систем автома­ тического управления, а также дискретных автоматических си­ стем со случайным временем съема данных и ряд других задач инженерной практики при их математической формализации сводятся к исследованию статистических свойств решения системы линейных дифференциальных уравнений со случайными коэффи­ циентами. В этом параграфе проводится анализ решения системы линейных дифференциальных уравнений, коэффициенты кото­ рой в случайные моменты времени переходят в одно из множества возможных состояний [57, 70, 71, 85,].

Рассмотрим случайный процесс х (t), являющийся решением стохастического дифференциального уравнения

где л: — вектор п измерений; А (t) — матрица переменных коэф­ фициентов размерности [п, п]; В (t) — матрица переменных коэф­ фициентов размерности ln, mV, f \t) — m-мерный случайный про­ цесс типа «белый» шум с известными математическим ожиданием и корреляционной матрицей:

и не зависит от поведения системы, предшествующего моменту t. Под о (А) понимается величина более высокого порядка малости, чем А, так что

62

Таким образом, случайный процесс изменения состояния си­ стемы является чисто разрывным марковским процессом с непре­ рывным временем и конечным числом возможных значений.

Обозначим через р (t) вероятность пребывания исследуемой системы в /-м состоянии в момент времени t. Известно [99], что при сформулированных выше свойствах процесса переключений состояния системы вероятности ps (t), / = 1, 2, . . ., k удовлетво­ ряют системе дифференциальных уравнений

при заданных начальных значениях вероятностей состояний

Рі (0) = Ріо-

Систему уравнений (165) удобно представить в векторно-матрич­ ной форме:

= — SA-/-

/—1

i=fcj

Предполагается, что случайный процесс переключений состоя­ ния системы не связан статистически со случайным внешним воз­ действием.

Случайный процесс х (t) с непрерывным временем может быть рассмотрен как предел случайного процесса х (ІА) с дискретным

временем. Изменения значения процесса х (t) происходят в ди­ скретные моменты времени 0, А, 2А, . . ., /А, . . .:

X (ІА + А) = X (ІА) + [А (ІА) X (ІА) + В (ІА) ф (/А)] А;

В выражении (167) под ф (ІА) понимается дискретный «белый» шум, являющийся допредельной моделью «белого» шума f (t). Статистические характеристики дискретного «белого» шума ф (ІА)

63

связаны со статистическими характеристиками (163) соотноше­ ниями:

Л*[Ф(/Д)] = /(/А);

(168)

М [ср (ІА) ф* ((/А)] = ~ N (ІА) öiq,

где dig — дельта-функция Кронекера:

Матрицы Ä (ІА) и В (ІА), I = 0, 1, 2, . . являются дискрет­ ными аналогами матриц переменных коэффициентов А (t) и В (t).

Матрицы А (ІА), В (ІА) могут принимать любое из k возможных

Процесс переключения состояний матриц А (ІА), В (ІА) яв­ ляется цепью Маркова с конечным числом состояний. Вероятность

перехода матриц А (ІА), В (ІА) из состояния і в момент вре­ мени ІА в состояние j (і ф j) через один интервал дискретности А определяется выражением

Р [/, IА + A I і, ІА] = Ки (ІА) А, і Ф j,

которое связано со статистическими свойствами (164) матриц A (f), В (t). Вероятность сохранения состояния і матриц А (ІА) и В (ІА) через один такт определяется выражением

Р [/, ІА.+ А I і, ІА] = 1 - І I ti m А = 1 + %tt № А.

/=і

і+І

Обозначим вероятность пребывания матриц А (ІА), В (ІА) в/-М состоянии в момент времени/А через ру (ІА), j = 1 , 2 , . . ., k. Для ру (/А), / = 1, 2, . . ., k можно записать следующую систему разностных уравнений:

64