Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

жении (166), перейти к более компактной матричной форме записи системы уравнений (170):

р (/А + А) = р (ІА) + Л* (/А) р (/А) А; р (0) = р0. (171)

Таким образом, построен дискретный во времени случайный

процесс X (ІА), I — 0, 1, 2, . . который может рассматриваться как допредельная форма исследуемого случайного процесса х (t).

даст решение поставленной задачи определения статистических характеристик х (t).

В момент времени ІА (I = 0, 1 , 2 . . . . ) система разностных

уравнений (167), определяющая процесс х (ІА), может находиться в любом из k возможных состояний, поэтому математическое

где M [x (ІА) I i, ІА ] — математическое ожидание процесса x (ІА) при условии, что в момент ІА система находится в состоянии і.

М [X (ІА + А) I /, /А -(- А] =

к

= S М [X (ІА + А) I /, /А + А; і, ІА] Р [і, ІА \ j, ІА + А],

ляется состоянием системы в момент времени ІА и не зависит от ее

к разностному уравнению (167) и проведем его усреднение при условии, что в момент времени /А система находилась в t-м со­

66

В выражении (179) о (А) объединяет все слагаемые правой части уравнения (178), зависящие от А2.

Путем введения векторов ѵ, (ІА), j — 1, 2, . . k , размер­ ности n

Выражение (181) является системой векторных разностных уравнений относительно Vj (ІА), j = 1,2, . . ., k при начальных значениях

Vj (0) '= 0, / = 1 , 2 , . . . , k.

Система (181) должна решаться совместно с системой уравне­

ний (171), определяющей вектор вероятностей состояний р (ІА). Согласно формулам (172) и (180)

/=І

Таким образом, системы разностных уравнений (171), (181) совместно с выражением (182) определяют математическое ожида­

ние векторной функции х (ІА), I — 0, 1, 2, . . ., которая является допредельной моделью исследуемого случайного процесса х (/). Предельным переходом при А —>0 в выражении (181) получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

удовлетворяют системе уравнений (166). Системы уравнений (166) и (183) совместно с выражением

полученным предельным переходом в формуле (182) при А —>0, определяют математическое ожидание процесса х(і). Для опре­ деления М [х (01 достаточно однократного решения на вычисли-

“к

Рис. 21. Блок-схема моделирования М 1х (t)]

тельной машине полученной системы уравнений при нулевых начальных условиях.

На рис. 21 представлена графическая интерпретация решения уравнений. В основе структурной схемы лежат блоки 1, 2,

. . ., k, каждый из которых отражает поведение исследуемой ди­ намической системы в соответствующем состоянии. Между ука­ занными блоками существуют связи через переменные коэффи­ циенты Я(7 (t) *, отражающие интенсивности перехода системы

из состояния і в состояние /. Детерминированное входное воздей­

ствие f (/) распределяется по блокам 1,2, . . . , k с помощью пере­ менных коэффициентов ß (. (t) pt (t), i = 1, 2, . . ., k, учитываю­ щих вероятности пребывания системы в каждом из возможных состояний. Математическое ожидание М [х (t) ] является суммой выходных процессов ut (t) блоков 1, 2, . . ., k.

Изложенный выше подход к определению математического ожидания выходного процесса х (t) может быть применен и к опре­ делению моментов вектора х (t) более высокого порядка. Пусть

Ф(0] — известная функция случайного вектора х (t). Случай­

ный характер х (t), а следовательно, и ф [х (0 1 , вызван случай­ ным воздействием f (t) на исследуемую динамическую систему и случайными переключениями состояния системы. Вследствие от­ сутствия статистической связи случайного процесса / (t) и про­ цесса переключения матриц А (t) и В (t) можно при вычислении М [ф ] последовательно применить операторы усреднения по каж­ дому из случайных процессов:

М [ф] = [ф].

* На рис. 21—23, и 25 для простоты изображения опущен аргумент t.

68

Вычисление М [ф] возможно в том случае, если существует линейная система дифференциальных уравнений, которой удов­

летворяет Mf [ф] = ф/. В частности, если ф [х (01 “ х (t) х* (t), то ф/ совместно с Mf [х Д)] = Xf (і) удовлетворяют следующей матричной дифференциальной системе уравнений (см. гл. 1):

% = Лф/ + фМ* + BNB* +

+Bfxf + Xff В ;

=Axf + Bf;

Ф/ (0) = 0; Xf (0) = 0.

Таким образом, ф/ удовлетворяет системе линейных диффе­ ренциальных уравнений со случайными скачкообразно изменяю­

щимися коэффициентами. Математическое ожидание Аа<в [фу] может быть найдено изложенным выше методом. Например, усреднение выражения (185) с целью определения дисперсионной матрицы вектора х (t) приводит к следующей системе дифферен­ циальных уравнений:

k

Полученный результат будет проиллюстрирован в дальнейшем на примерах.

Изложенная выше математическая модель может быть приме­ нена для описания ненадежных автоматических систем. В про­ цессе работы системы возможен внезапный отказ некоторых эле­ ментов или резкое изменение внешних условий, что может при­ вести к скачкообразному изменению параметров рассматриваемой системы. К подобным системам относятся электронные схемы, содержащие ненадежные элементы. Другим примером являются системы, содержащие механические контакты и работающие в усло­ виях сильных вибраций. Вследствие вибраций в случайные мо­ менты времени возможен обрыв замкнутых контактов или замы­ кание контактов, которые по условиям работы должны быть разомкнуты. Изменение уровня вибраций может привести к вос­

69