Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 93
Скачиваний: 0
становлению механических контактов. Такие отказы являются обратимыми и могут быть отражены в математической модели системы с помощью случайных, скачкообразно изменяющихся коэффициентов.
Отказы в системах управления могут быть и необратимыми, когда восстановление нормального режима работы невозможно. При этом система может сохранить работоспособность при ухуд шенных динамических свойствах. Покажем, как полученный в этом параграфе алгоритм расчета моментных функций вектора выходных координат системы x (t) может быть применен для ана лиза системы управления с возможными необратимыми отказами.
Допустим, в линейной системе возможны k отказов (k ^ 1). Каждый из отказов приводит к скачкообразному изменению коэффициентов дифференциального уравнения (162), описываю щего поведение выходных координат системы. Обозначим моменты скачков в системе іх, і2, . . ., tk. Предположим, что скачки определенным образом упорядочены:
О < t 1 < t 2 < - - - < t k < T . |
(186) |
Моменты скачков в системе случайны и имеют плотность рас |
|
пределения вероятностей р (tx, t2, .... ., tk) в области, |
описывае |
мой неравенствами (186).
В момент включения системы матрицы переменных коэффи циентов А (t), В (і) в формуле (162) имеют значения А х (t), В х (t). После первого скачка эти значения изменяются и становятся
равными А а (0, |
В г (і), |
после /-го скачка (/ = |
1, |
2, |
k) |
ма |
|||||
трицы переменных коэффициентов принимают значения |
Л/+1 (t), |
||||||||||
Bj+1 (t). |
|
|
к |
моменту времени t (0 < |
t < |
Т) в |
системе |
||||
Допустим, что |
|||||||||||
произошло |
/ — 1 |
(1 < / < k) |
скачкообразных |
изменений, |
и |
||||||
матрицы переменных коэффициентов приняли значения |
А у, |
В,-. |
|||||||||
Определим |
интенсивность |
/+1 |
перехода из |
состояния |
/ в |
со |
|||||
стояние / + |
1. |
Согласно выражению (154) |
|
|
|
|
|||||
Р [/ + |
1, |
t |
+ |
А I/, |
t] = |
;-+1 (t) А + |
о (А). |
(187) |
|||
Величина Р |
[/ |
+ |
1, |
f + |
А | /, |
і] может быть вычислена на ос |
|||||
новании известной плотности распределения вероятностей скачков
р (tx, t а, |
. . ., |
4 ) и неравенств (186): |
|
|
|
||||
|
Р [ І + 1, |
* + |
Д|/, |
<] = |
РЦ+ |
l,t + b;jt] |
|
||
|
|
PU, t] |
|
||||||
t |
t |
t |
|
t+А |
T |
|
T |
|
t%, . . .. tk) |
1 dtx J dt2. |
. • J dtpX |
J dtj |
J dtl+1. .• ■j* |
dtkp |
|||||
0 |
<, |
(i-2 |
t |
f |
<+A |
|
fk-i |
|
|
t |
t |
|
T |
T |
|
T |
dtkP(4, t2, ■■ tk) |
||
1 dtxJ dt2. ■■ J |
dtj_x 1 dtj J dtj+1. . • j |
||||||||
0 |
<i |
Ч-* |
* |
4 |
|
‘k-i |
|
||
70
Jt |
Äij"t |
dt2. . . |
J" dtj_l j"dtj+l. |
■ ■ |
J dtkp(ti, t2, ■ ■ •, tj_j , |
t, tj+1, . . |
tfc) |
||||||||
0 |
*» |
|
|
*/., |
t |
|
lk-i |
|
|
|
|
A+ |
|||
|
|
|
|
|
t |
|
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
J dtl j |
dta. |
. . j |
dtj_t j dtj j dtj+1. . . J |
dtkp (tx, |
t2........ tk) |
|
||||||||
|
о |
|
и |
|
4-2 |
‘ |
|
4 |
o(A). |
lk-l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая полученное выражение с формулой (187), получаем, |
|||||||||||||||
что |
при |
|
1 |
/ |
-.с k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^/, /+і (0 = |
|
|
|
|
|
||
t |
t |
|
|
t |
т |
|
|
т |
|
|
|
|
|
||
j" |
dt± J |
dt2 . . |
. j" dtj_l J |
dtj+1. . , J" dtkP (t1, |
t2, ■■ |
t, tj+1, . . |
tk) |
||||||||
о |
n |
|
|
4-2____ {_______ lk-l |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
t |
|
t |
|
t |
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
j" |
dtxj dt2 . . . |
j" dtj_1 j |
dtj j" dtj+1 . . . |
j" dtkP(^j, t2, . . |
tk) |
|
|||||||
|
о |
|
it |
|
1 -2 |
t |
|
|
U |
k-1 |
|
|
(188) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что в знаменателе полученного выражения стоит |
|||||||||||||||
величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
РЦ, |
t] = Pj(t) = |
|
|
|
|
|||
t |
|
t |
|
|
t |
т |
т |
|
|
т |
|
|
|
|
|
= j |
dtj, J dt2. . . J dtj^ j |
dtj |
j dtj+1. . . |
j dtkp{4, t2, . . ., |
tk). |
(189) |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
4-2 |
* |
|
4 |
|
|
4-1 |
|
|
|
|
Так как было принято предположение об упорядоченности |
|||||||||||||||
моментов |
скачков, |
то из состояния |
/ возможен |
переход только |
|||||||||||
в состояние / |
+ 1, |
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
hj,i(t) = 0 при 1 |
|
|
k, |
і Ф /, і ф j + 1. |
|
(190) |
||||||
Тогда на основании |
определения |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ft+i |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
м * ) = * - |
S |
|
М О |
= - Ч / +1- |
|
|
(191) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
і=1 |
|
|
|
|
|
|
|
і+і
Если в системе произошло k скачкообразных изменений пара метров и матрицы переменных коэффициентов приняли значе ния ЛА+1 (t), Bk+l (t), то система сохраняет это состояние, и дальнейшие изменения в ней невозможны. Поэтому интенсивность
перехода из состояния |
k + |
1 |
в любое другое |
состояние |
равна |
нулю: |
|
|
|
|
|
К+ы (О = |
0, |
г = |
1, 2, . . ., k + |
1. |
(192) |
71
Рис. 22. Блок-схема |
моделирования М [х (t) ] |
при |
необратимых |
||||||
|
изменениях структуры системы |
|
|||||||
Вероятность нахождения системы в (k + |
1)-м состоянии в мо* |
||||||||
мент времени |
t определяется |
выражением |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
Р [k + 1, |
t) |
= |
pk+x (t) = |
J dtx J dt2 . . . X |
|||||
|
|
t |
|
|
|
0 |
fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
{ |
dtkp |
(tx, 12t . . |
tk). |
|
|
||
|
k-i |
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая |
особенности |
матрицы |
интенсивностей переходов |
||||||
|
Аг (0 |
|
Аг (0 |
0 |
|
... |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
Аз (0 |
Аз (0 |
|
... |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
A^ (0 |
|
... |
0 |
0 |
|
6 |
|
0 |
|
6 ... |
-~~ A. k+i (0 |
A, A+i (0 |
||
|
0 |
|
0 |
|
о... |
|
|
0 |
0 |
полученной на основании формул (190)—(192), моделирование математического ожидания выходных координат в линейной си стеме при наличии необратимых отказов элементов может быть выполнено по схеме, изображенной на рис. 22. Эта структурная схема является частным случаем схемы рис. 2 1,
Схеме, показанной на рис. 22, соответствует система диффе ренциальных уравнений, являющаяся частным случаем уравне
ний (183), (184): |
|
|
|
||
А = |
А |
(0 |
Мі — «А г (0 |
+ А |
(() f (t) Рг (t); |
iij = |
Aj |
(t) |
Uj + «/-А -i, / tt) — “A , i+i (0 + |
||
+ |
A |
(0 / |
(0 Pi (A / = |
2, 3, |
. . . , k\ |
72
uk+i — A k + i (4 uk+i + u k K ,k + i (4 +
|
ft+i |
+ |
|
(0 f |
(t) pÄ+i |
(0 ; |
|
. . k |
|
(193) |
|||||
M [X (01 = |
Uj, |
Uj (0) = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
S |
0, / = 1 , |
2, |
+ 1. |
|
||||||||||
Предположим, |
|
что |
плотность |
распределения |
вероятностей |
||||||||||
р (tx, 12, . . |
|
4 ) |
моментов скачкообразных изменений в системе |
||||||||||||
удовлетворяет |
условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Р (4- А |
|
• • •- 4) = |
Фі (4) Фг (/а)- • • Фа (4) = |
||||||||||||
= п ф, (4), о < 4 < /2<• ■•< 4 < г. |
|||||||||||||||
|
|
/= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае согласно формулам (188), (189) |
|
||||||||||||||
|
|
КмѴ) = ^ - ч , Ѵ ) . |
1«sЬ |
|
(194) |
||||||||||
|
|
Pj |
(t) = ch l {t) |
|
dj |
(t), |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где |
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С/(4 = |
[ |
Фі (4) ^4 I Фг (4) dt2 • |
• |
• |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
J |
Ф* (4)d t k , |
|
||
dj (t) = j |
ф/ (4 ) dtj } cp/+1 (t!+1) dt/+1 ' ' |
/ < k\ |
|||||||||||||
t |
|
|
|
|
t ; |
|
|
|
|
|
4-1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4+i (4 |
|
= |
1- |
|
|
|
|
Подставляя выражение (194) в формулу (193), получим: |
|||||||||||||||
«I = |
Л (4 Ux — их А |
фі + |
ßi (/) /4; |
|
|
||||||||||
|
|
• |
= |
|
л |
|
|
|
di |
|
|
|
|
|
|
|
|
Uj |
Л у (0 Му + |
|
«у,! -J— ф/.! — |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U/- |
1 |
|
|
|
|
|
— « / - |
J - |
Ф/ |
f |
Я / ( 4 |
4 / - i d j , / = |
2, |
3, . . . . |
Ä; |
(195) |
||||||
ua+i = ^a+i (4 ыа+і “Ь uk |
|
|
Фа 4 Am (4 /СА4+1; |
|
|||||||||||
|
A+l |
|
|
И/ (0) = о, |
/=1,2, .. „ А Ң - |
1. |
|||||||||
M [дс ( 4 ] = |
S |
И/; |
|||||||||||||
|
/=і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
Замена переменных в формуле (195) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
- 4 |
— üy, |
/ |
|
— |
1, 2, |
. . . . |
А + |
1, |
|
||||
73
приводит к системе уравнений
‘ѵі = А1( 0 » і + Ві ( О Ь
Vj =* Aj (t) üj + |
+ |
Bj (t) fch l, / = |
2, 3, , . |
|||
*»*+i = Ak+1 (t) |
vk+1 + |
vkqk + |
Bk+l (t) fck\ |
|
||
fe+i |
|
|
|
|
|
|
M [X (0] = S |
|
о/ (0) |
= |
0, / = |
1, 2, |
|
/=i |
|
|
|
|
|
|
Этот результат |
может |
быть |
|
получен |
иным |
способом [70]. |
Ему соответствует структурная схема моделирования М [*(/)],
представленная на рис. 23. Блоки 1, 2, . . ., k + 1, как |
и на |
|
рис. 22, |
являются моделями системы для каждого из k + |
1 воз |
можных |
состояний. |
|
Полученные результаты исследования систем со случайным скачкообразным изменением параметров могут быть применены не только к системам с обратимыми и необратимыми отказами, но и к системам, подвергающимся воздействию мультипликатив ной помехи. Допустим, что линейная система управления описы
вается дифференциальным |
уравнением |
|
|
||
X = |
Ах |
А qX |
Bf, |
(196) |
|
где |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
• |
|
|
о . |
|
|
|
6 |
|
а (0 |
, |
А0х — |
|||
а (0 xt |
|||||
0 |
|
|
0 |
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
*0 |
|
6 |
|
Рис. 23. Частный случай моделированиям [х (<)] при необратимых изменениях структуры системы
74