Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

lim

s (log s f _ n

f t —* СО

n

b

что же

касается

условия

j* f(x)dx=l—а < 1,

которое исполь-

а

зуется

в [58],

оно здесь отсутствует.

Некоторые

примеры

ядра К(х) приводятся в следующей

таблице:

К(х)

J

K2(x)dx

- СО

1/2.

|х|<1

1

0.

1*1 >1

2

1 -1 *1 .

1х| <1

2.

о .

|х|>1

8х2+ 8|х|3,

\х\

- М ) 3.

1

0,96.

2 <

0

1

_ 1_

1

Г

*S1

у 2-я

ехр

(— }

У2к

1

1

y e x p j - ■1*1}

~2

1

1

1

я

1+Х'2

я

1

Зя

0 ,5 4 + 0,46 cos тех,

|х|<1

3

о

.

и >1

1

7 п ( х ) = - 0р - ,

(2.4.1)

2п

где S„(x)—эмпирическая функция распределения

выборки. Оче

видно, что (2.4.1) соответствует

выбору

ядра

1

1.

* „ (* )=

2 ’

'

I

0 ,

| х | >

1.

Критерием локальной и глобальной

точности

оценки fn(x)

Розенблатт выбрал

и соответственно

Е [?»(*)- /(*) ]2

Е

[fa(x)-f(x)\*dx.

Имеет место

Т е о р е м а 2.8. Если f(x)

имеет непрерывную

вторую про­

изводную в окрестности х, то

Е

[ f ' W + 0

( 1 - +

(2.4.2)

к =

Г У у*

2

\Пх)]*

Е [ Ш

- / ( * ) ] 2= - ^ - 2-4/59~4/3 /(л;)4/5|Г(х)|2/5 п -4/5

= _ 2-4/® 9-1/5

j № ) ] 2<к 1/5д- 4/5+ 0 (л-*/5).

4

В качестве ее оценки по выборке

2 г = (Х „

Yt), i= lT n ,

(2.4.3)

рассмотрим статистику [32]

Тп(х, y) = ^ l M ^ l J l ,

(2.4.4)

ml

где S„(x, у)— эмпирическая

функция

распределения

выборки

(2.4.3), равная относительной частоте

тех значений Zt,

для

ко­

торых Х ,< х и Y,<Cy, a h= h{n) и 1 — 1(п)—положительные

чи­

сла, стремящиеся к нулю при п-*-оо,

причем

nhl-+ оо.

(2.4.5)

7. Г. М. Мания

S7

Пусть

X

У

F(x, у) = Р{Х<х,

Y<y)

f (и, v) du dv.

-00

---- 00

Поскольку nSv(x,

у)

имеет

биномиальное распределение с

параметрами п и F(x, у), то

Е S„{x, y) = F(x,

у)

(2.4.6)

D Sjx,

1

F(x, y)[l-F(x, у)},

(2.4.7)

у) = —

п

Нетрудно подсчитать также, что

1

F (min (х, х'), min (у, if))—

Е Sjx, у) Sn(x\ y')*=—

п

-

OlZ.1 F(x, у) F(x',

у’),

откуда

соv(Sn(x,y),

Sn(x'

у')) =

= — [F(min (х, х'),

min (у, y'))—F(xt

у)

F(x',

у%

(2.4.8)

п

Из (2.4.6), (2.4.7),

(2.4.8)

получим

Е /„(*,

1

М / Л * ,

У),

(2.4.9)

y) = -ju -

1

ш

(2.4.10)

D /„(*, у)= 16 nhH2 1

у) -

у)]2

Предположим, что f(x, у) имеет непрерывные

производные вто­

рого порядка в окрестности (х, у).

Поскольку

x+h

у+1

А /А Л *.

У)=

j*

[

/ К

v) dudv=

х—h у—l

1

1

— М j

J

f(x+hu,

y + lv)dudv,

—1 - 1

AiAhF(x, y) = 4hlf(x, y) +

+ ~3 hl lh*fe(x,

y) + Pf>(x,

y)]+o[h*l+Ph).

Отсюда, согласно (2.4.9)

и (2.4.10),

будем иметь

E /nC*>

y) = f(x,

у)

+

+

yg- ih2f>(x,

y)+Pfy(x,

y)] + o(h2+B),

(2.4.11)

Поскольку

-

i

A

+

° {

i i ) -

<2-4-12»

E [fn(x,

y)—f(x, y)]2= D f n(x,

y)+[YL fn(x,

y)—f(x, y)}2,

(2.4.13)

из (2.4.11) и (2.4.12) имеем

E lfn(x,

y)- f(x, y)\2= _

^

+

_ L

[h2fXx,y)+l2fXx,y)\2 +

+

о i y ~

+ (Л2+ / 2)2|

_

(2.4.14)

р {!/»(* - y)~f(x,

г/) |> s)

= О ( у =

+

(Л2+ /2)j .

Для поиска оптимальных Л0, 10 в (2.4.18)

минимизируем по

Л и / функцию

ф(Л,

l ) = ~

+(Bh2+Ct2)2,

где

>(x’ У)

А = f { x ’ у )

в =

У)

г -

f

4п ’

6

6----- '