Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

У2п J еХР

(

2

) dX

exp

(

-

f

1 + 0

I 1

V 2 k Xg

U f

= e~

1+ 0

l o g s » / .

Crs exp

|-

A -

= 0^exp

j -

A

j j

= 0

( l

) .

Следовательно,

oo

2

exp

dx

r = J _

(2!-*y

1+ 0 / -

1

V 2k

r 1 V

\ tog s J

Лемма доказана.

Определим функции Тп(х) и ап(х),

а

^ й,

следующим

образом:

Tn(x)=7n(ti), х£А{,

i = ~ s ,

an(x) = VD'fn(ti) ,

х б Д/,

i =

l7 s.

Обозначим V (X,

п)

число

выходов

Тп{х)

в промежутке [а,

Ъ]

за полосу, ограниченную кривыми

Уп{х)=Е Тп(х) +■

(lg

+

ап(х),

Уп(х) = Е Тп(х) -

A +

A j <у п ( х ) .

Т е о р е м а

2.1.

Если еп log s~>0

/jog

при п-

оо,

и v—=—!■----- >-0

где m —max

(3,

г),

то

nh

(2e~KY —28~

*

______

lim

Р {V(X,

п)— г } = -

------ —

е

,

г = 0 ,

оо.

П —* со

г!

Доказательство теоремы 2.1

очевидным

образом следует из

леммы 2.7 и леммы Мизеса.

Теперь рассмотрим величину

Кп= шах { |U h) I ,....

I §«(*.)

I

}

(2 .3 .3 )

и положим Р „= Р {КП< Х ,}, где

Xg= / , + А

Т е о р е м а 2.2. Если enlogs->-0 и (log s)3/«/t->0

при h--> оо,

то

—2е-Я

Рп = Р {К п ^ К }

е

(2.3.4)

при возрастании п.

Доказательство следует из того факта, что

р п= р {Хп < х} = р №

п ) = 0).

Нш Р IVnh

max

Тп( х ) -

Е Тп(х)

X )

—2е~^

—

= е

л—с» ( х£ [а, Ь\

п{Х)

(2.3.5)

где

ъп(х) = (

1

:t, — и)

\

1/2

i= 1, s.

f(u)du )

,

хбД ,.,

З а м е ч а н и е 1.

Пусть /С (х)з=0 при

\х |2^ х 0 и h0 — 2x0h,

тогда условие

en log s -> 0 (n -v со) отпадает, так как еn — 0(h),

.a h log s->0;

Пусть К(х) определена следующим образом:

З а м е ч а н и е 2.

1

I х |<

1,

~2

.(2.3.6)

а

д =

0

|х |>

1.

Тогда легко заметить, что

rSv)_ s j,x + h ) - s n(x -h ) = S" ( * +

t

) ~ S" ( * ~ T . )

п

2h

h0

к

Й - Т Д

(2.3.7)

fl(x)=fn(tk), x £ Ah,

k—\, s.

Следовательно,

из теоремы

2.2 не­

трудно вывести утверждение,

являющееся обобщением теоремы 1

Н.

В. С м и р н о в а

[58]:

Т е о р е м а 2.3.

Если при возрастании п и s

(log s)3

0,

nh

то

—2e-b

Р [Ynh

max

Г „ ( х ) - Т ( х )

< ls+

—

X£ [a, b]

V№

8

L

где

f(x) =

1

1 f{x)dx,

x£ A h,.

k= 1, s и h0—2h.

—

К J

Л*

Построим класс доверительных областей для неизвестной

плотности f{x). С этой

целью

воспользуемся

методом, мало от­

личающимся от метода, развитого в работе [58].

Предположим, что f(x) имеет ограниченную

первую

произ-

ОО

водную и

1 |и |К(и) du<ico. Пусть, далее, a0=a<ia1<i...<.ak—

•=a-\-khQ

as= b — концы интервалов А{, i —1, s.

Тогда

/(* )= f(at)+

( х - at) f'(Q,

x € А ~ [а,,. а|+1]„

(2.3.8)

где

а, <

С£ <

ai+l.

С другой

стороны,.

Е Э Д =

1

j к (^ ~ у ( и ) й и =

j

K(u)f^a, +

-u h ) du—

СО

ОЭ

= /(% ) +

Y

J

K(u)f' U u ))d u -h ^ uK{u)rUu))dw-.

-f(at) + O('/i0)„

x

e

Ш =

Q^u) [ - ± -

uh) ,

(2 .3 .9 )

0 <

0/(w) С

1.

Ввиду (2.3.8) и (2.3.9) можно написать, что

fix) = Е Тп(х) = 0(А0)

= ° ( y ) > * € Д(.

(2.3.10).

Аналогично показывается,

что

fix)

1/2

КЧи) du \ =

= 0

х б Аг-

(2.3.11)

со

вию (Л ),

1 |х\ К(х)йх<. оо

и,

кроме того,

&log s —*■О,

(log s)3

О,

n.k-]0g S

->

Q

(2.3.12)

nh

при возрастании n, то

lim

P

| max

TnixhzM

<

+ J V 4

a. j

=

n—oo

( x(i [a. b\

Vfix)

Vnh

(2.3.13)*

где

a =

Г

1/2

7(2(w)du

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим

K*n=

В Д - Е В Д

K*n=

max

Tnjx )-fjx )

max

<*«(*)

a Vfix)

[a. H

x £ [a. 6]!

7)п = к г - к :

и покажем, что Р

I i т\п \>

О,. ( е > 0 )

при

/ г - > с о .