Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

Тп(х) - Е Т„(х)

Тп(х) -

f{x)

а

д -

е а

д

<*Jx)

а У f(x)

<

®п(*)

Тп(х)~ fix)

<

fix) -

е а д

+

а У fix)

<*п(х)

+

\Тп(х)Ч(х)\

У

fix) - ап(х)

(2.3.14)

aV f(x)

В силу теоремы 2.1 о равномерной сходимости

fn(x)

к f(x)

легко видеть, что \Tn(x)—f(x)\

ограничено с вероятностью еди­

ница равномерно относительно х и п. Далее,

принимая во вни­

мание (2.3.10)

и (2.3.11), из (2.3.14)

получим,

что с вероятно-

стью единица

.

, ^

Ь— а

„

|У]п |^

с22-------- . С другой стороны, для доста­

точно больших п согласно условию

nh logs

•0

при

п -V СО

разность

е

Ь—а

1— с2а Ф -а ) lsVnh

положительна. Следовательно,

е

| - » 0

при ц—>оо.

(2.3.15)

р |1 Vn 1> , y-fr

Утверждение теоремы следует из (2.3.15), поскольку

Р \ K n ^ ls+1,Xs

> Р

Кп’ < -^ +

(X — &)/1„

V hh

Vnh

дожить

s= B n “ ,

h= — ,

где А, В > 0 ,2 а + р > 1

и 0 < а < | 3 < ;1 .

С помощью

(2.3.13)

можно построить класс

доверительных

областей

Ga(k) с

заданным коэффициентом доверия а ( 0 < ! а < 1 )

выборки

(К (х) — функция,

удовлетворяющая

приведенным

выше условиям).

—2е-Ь

Пусть

Х = Ха — решение

=

а. Положим

уравнения е

га = (Л

+

— 1

}

■• Тогда

неравенство

\

/. 1

V nh

max

Тп(х)-П х)

K\u)du

1/2

а

v m

х£[а, Ь\

■означает,

что область

Ga(x), ограниченная кривыми

<ЛМ-7\,М + _

|/ тп(х) '

(2.3.16)

а д = В Д +

+ • „ j / Т Л х ) + 4 •

■с вероятностью сколь угодно близкой

к а покрывает на сегмен­

те [а, Ь] неизвестную

плотность f(x).

З а м е ч а й ие 1.

Если /С(х) = 0 при |х|^х0, 0 < х 0<Ссо, то

■теорема 2.4 упрощается в том смысле,

что условие en log s

О

ничивающими,

а именно

требованием,

чтобы с

ростом п удов­

летворялись соотношения

s <l08 s>S ^ n

(2.3.17)

п

S3

Условия (2.3.17)

выполняются, например,

если

положить

-s= 4 g , где Л > 0,

1/ 3< Р <

1.

З а м е ч а н и е

2.

Пусть

/(х) удовлетворяет условию Липши­

ца порядка у

на всей оси. Нетрудно

показать,

что

Е Тп(х)—

— f(x) = 0(hv)

и с г „ (х )-

f(x)

K 2(u)du

х 6

Д/, t = l , s .

— оо

nh log s

-О,

Л-v СО.

S2Y

*

„

nh log S

Исследуем теперь вопрос

об улучшении условия ------------

S2

I

^0

и К

, аналогичную по конструкции

на сегменте а +

2

b— -1

полигону частот,

2

следующим равенством:

т =

/ « ( “ л - y ) + / n

( а* +

т

+

л:—

- 7 n K - f

»

^А

^ ^А+1‘

fn[ah + ~~

КО L

Аналогично введем функцию

qn(x):

<7„М

Ф f «ft — y - j

+

Фп ( аА +

—

Х - О ь

К “

+

Фп ( ak +

y

) ~

Фп

hn

где

ф„о/ ) =

( - J - ( Ч 2

/ ( « ) d « xl/2:

со

на всей оси

и ^u?K{u)du <.<*>. Ввиду того, что

К(х)=К(—х),

----- со

можно убедиться

в справедливости

соотношений

^Tn(x)-f{x) = 0(hl), xe\tk, tk+1],

(2.3.19)

f(x) \K2(u)du

1/2

x £ [tk, tk+г].

(2.3.20)

- qn{x)=0{h%),

Рассмотрим

величину

Мп— max

^ fп(Ю

1<&<S

Фя(^й)

Из теоремы

2.2 следует

Т е о р е м а

2.5. Если en logs-^-0,

—°^ Sl

■->-0

при п->-со,

то

nh

Р

max

Ш

- е Ш

^ / , + ty /.)

~ 2е~к

<

■* r-=!

Н - » е

^0

, ^0

V nh

Д+—,

о— —

2

2

(2.3.21)

е.„ l o g s - О,

<

! £

лз

- О,

i

^

S i

-

0

,

(2.3.22),

* £

mo

nh

s4

Нш P

max

ш

- т

. к +

УК

о

\

=

-

2e~%

v m

. —

£

n— со

[ л £ [a, b\

a =

K\u) du

Условия (2.3.22)

выполняются,

например,

если

положим:

s— Ana, h=An~$, где

Л > 0 ,

5 > 0 , 4 а + р > 1

и 0 < а < < (3 < < 1 .

Доверительные области для f(x) и в этом случае определя­

ются теми

же

кривыми

Ux(x) и U2(x)

(2.3.16),

но только Тп(х)'

заменена на fn(x).

Пусть К(х) определена так,

как

в

замечании

2

к

теореме

2.2. Тогда

h0 = 2h и fn(x)

тождественно

совпадает

с

полигоном■

частот <ps*(x) (см. [58]). Из теоремы 2.6, как

следствие,

полу­

чаем обобщение теоремы 3 Н. В. Смирнова [58].

Т е о р е м а

2.7. Пусть f(x)

удовлетворяет

условиям теоре­

мы 2.6 и

К{х) = — . при ' х\ 5^

1, K(x)ss 0 при

1л: |> -1 . Еслш

2

при возрастании п

s( l ogs )3

0

п logs

то

п

’

S3

I

lim

Р

max

4>!(x)— f(x)

^

/3+ X//.

=

—2е~х

в

п—°о

*6 [а, Щ v m

„

теореме условие

lim

s3(log s)3

из

[58]

заменя­

В этой

.

L.

< ; со

П —+0О

tX