Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 118
Скачиваний: 0
получим
l2= A h2,
С
откуда, полагая ВС > О,
|
~ \В\-Ы*\С\'1\ |
|
О |
|
4 = А | 5 р /2 1С|-6/2, |
|
о |
т. е. h0= J A |
f(Xt y)\fr(x, У)Г5'21 /Ж Л )Г } V * /« , |
/оВ={ т |
у )| /ж ^ i1/2iw x>^ i"5/2}1/vi;e- |
Искомый минимум главного члена (2.4.12) равен
№y )fr (* , y)fr(x, у)\чзп-*1*.
Исследуем теперь случай, когда h=l, оптимизируя функцию
Ф ) = А +(B+C)W.
п2
2 л
Если В + С ф О , то из уравнения <p'(ft)=---------- + 4 (B +C p/t* h3
получим
|
|
|
ft- |
л |
|
Т, |
0 Ф |
|
0 |
2 ( 5 + С)2 ’ |
|
|
|
Г Щх, у) IV. |
|||
|
|
|
Л _ |
||
и |
|
|
0 |
Ып*+Гу*?\ ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<Р(*о)=» — |
\А(В+С)]21\ |
|
т. |
е. |
|
|
V 4 |
|
|
|
|
|
||
|
у |
~ |
[/(*, |
У )(/> (+ < /)+ /> (*, У ))]2'*«~ г^ |
|
Итак, нами доказана |
|
|
|||
|
Т е о р е м а |
2.9. |
Если плотность распределения f(x, у) в ок |
||
рестности точки (х, у) имеет непрерывные частные производ ные второго порядка, то
100
E |
1 |
fix, |
y) |
4 " lA*£‘ (*»0) + |
||||
У)-!(х, y)]2= |
4 |
- + |
||||||
|
tihl |
|
0 0 |
|
|
|
||
|
+ Pfr(x, У)?+о |
( ± |
-f (h*+lzf ) . |
|
|
|||
|
|
Vnhl |
|
|
|
|
|
|
При дополнительном условии |
|
у) /*а(х, |
у ) > 0 , |
оптимальные |
||||
h0 и 10 равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
К = |
fix, у)\ГАх, у)\-^\ГАх, |
у) Г |
j |
V |
1'6, |
|||
|
y)\ll2\f>{x, |
У)Г5/2 |
j V |
1/» |
||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
Е Шх, У)~fix, y)]2= i ^ L [ / 2(x, у)£*(х, у)/>(х, у)]1/3п-2/3+ о (п "2/3).
Яры дополнительном условии f'^ix, |
y)+fl*ix, у)+0 |
ы равных h |
||
и I оптимальное h0 равно |
|
|
|
|
h = |
f |
9^ ’ У">_____ 11/бп-1/б |
|
|
0 |
\2\ГАх, y)+f?ix,y)V) |
|
||
и |
|
|
|
|
Е Шх, У ) - fix, у )]2= |
-1- у Г -1 |
[/2(х, y)(fe(x, |
у)+ |
|
+ |
f? ix, у) )2]х'3 / г 2'3+ о (п-2/3). |
|
||
Сравнивая константы при и-2/3, заключаем, что если про изводные /'г (я, у) и /"г (х, у) не равны нулю и имеют одина ковые знаки, то лучше выбирать разные ft и I.
Для глобальней характеристики оценки fn(x, у) рассмотрим
JJ* Unix, у ) - fix, y)fdxdy.
|
R2 |
По теореме Фубини и соотношению (2.4.13) |
|
JJ |
Unix, у)-fix, y)fdxdy = J Е [/„(л:, у)-f(x, y)fdxdy= |
R2 |
$ |
|
[Е fn(x, у)—fix, У) ]2dxdy=Dn+ E n. |
101
Для Dn, согласно |
(2.4.10), |
имеем |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
Dn = 1 ~м |
|
(J |
( |
т |
|
,[ |
f f(x + hu' y+tyduda'j dxdy— |
||||
|
|
R2 |
|
—1-—41 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
4 ,| J (44 |
J |
|
J |
f(x+hu, |
y+Iv)dudv) dxdy. |
||||||
|
|
|
|
j |
|||||||
|
R2 |
|
—1 —1 |
|
|
|
|
||||
По теореме Фубини |
и неравенству Гельдера |
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
■ ш |
J I |
(4 - |
|
|
|
f(x+ hu, у + |
lv) dudv I |
dxdy = |
|||
|
|
|
|
|
|
|
inhl |
||||
|
|
|
—1 —1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
— |
JJ |
|
|
J |
|
f(x-{-hu, |
y-{- lv) dudv'j |
dxdy |
|||
|
R2 |
|
|
——11——11 |
|
|
|
|
|||
|
< — |
[ | № , |
|
|
( - 1 ) - o ( T - |
||||||
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D„--= |
— L _ |
+ o |
1 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Anhl |
|
nhl |
|
Оценим теперь En. По формуле Тейлора с остаточным чле |
|||||||||||
ном в интегральной форме имеем |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т2 |
|
|
|
|
|
|
|
f(x-\-hu, у -\-lv)dudv—f(x, у) dxdy = |
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j* |
(1 —t)\h2u2Fx2(x+thu, y+tlv) + |
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
+ 2 h!uvfxy(x-\-thu, y-\-tlv)-\-l2v%f"y2(x-\-thu, y+tlv)\ dtdudv
Если f"x2(x, у), ГхУ{х, у) и f"ys(x, у) ограничены и интегриру емы с квадратом, то, опуская подробное доказательство, в ходе
102
которого неоднократно применяются известные теоремы о пре дельном переходе под знаком интеграла, можно написать, что
£ п= |
~ (Ли /Р + 2 Л 12Л2/2+ Л 22/4)-И [(Л 2+ /2)2], |
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
Л„ = |
[fx*(x, |
y ) ] 4 x d y , |
|
|
|
Л12— JГх*(х, у)Гу*{х, у ) d x d y , |
(2.4.15) |
|||
|
|
||||
|
*2 2 - |
и [/>(*, |
y ) ] 2d x d y . |
|
|
Итак, |
|
|
|
|
|
J |
У ) ~ f i x , у ) } 2 d x d y = — — |
|
|||
Ш х ' |
|
|
4tihl |
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
+ 1 - ( Л ^ + г Л ^ Р + Л . Л + о Г -^ - |
+ (/г2+ / 2)2]. |
(2.4.16) |
|||
Так же, как и при рассмотрении |
меры локальной |
состоя |
|||
тельности, разберем два случая: |
Ьф! и h= l. |
|
|||
Результаты оптимизации в обоих случаях вместе с |
соотно |
||||
шением (2.4.16) сформулируем в виде теоремы. |
|
||||
Т е о р е м а |
2.10. Если частные производные f(x, у) |
второго |
|||
порядка непрерывны, ограничены и интегрируемы в квадрате, то
Е |
1 |
-Ь |
У ) - f i x , у ) ] 2 d x d y = |
||
|
4nhl |
+ |
± (ЛцЛ*+2ЛмА*/*-Ми/*)+о |
|
|
+(^2+ /2)2] , |
|||||
где Ац, |
t, / = |
1, |
2, |
|
определяются из соотношений (2.4.15). |
||||
Оптимальные h и I равны |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
( |
|
А —5 / 4 4 |
1 / 4 |
|
V1 / |
|
|
|
|
9 |
Л 1 1 Л |
2 2 |
|
) V |
1 / 6 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
U |
|
Н - Л ^ Л й ^ Л й 1 / 2 |
|
|
|
|
|
Г |
- |
/ |
9 |
Л и Р М г / ' 4 |
' |
\ 1 « |
/ 6 |
|
|
|
|
|
п - 1 |
|||||
|
0 |
|
U |
|
И - Л ^ Л ^ Л г / / 2 , |
|
|||
103