Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

P (S )

f (2) при

Q(S)->0.

(3.1.5)

= E& { max

sup

рЛ ‘! - М

i \z$st

« № )

\z\<A

Разобьем теперь область интегрирования на события

Вг={(Уг,

у 2.......

Ут) : Q(S;)< 5 }, i =

l ~

(3.1.6)

Используя (3.1.5), подберем 5 > 0

так, чтобы

P(S)

-/(*)

<3 S

Q S)

при Q (S )< § равномерно по г, |г|<Л. Тогда на множестве

(]Bt

i

подынтегральное выражение будет меньше е2.

На дополнитель­

ном множестве

шах sup

P(S,)

< 4 Я 2,

i

z^ Si

Q (S,)

E £ / = P { B < } = P { Q № ) > § ) <

М У Н )

53(m -j-l)(m -f 2)

(по неравенству Чебышева).

Окончательно имеем оценку

Е£

| шах

sup

С

< е 2+ 4 Я 2

( ^ + 1)

52 (m + l)(m + 2 )

^ е 2-|-4Я2 шах

(lt+ 1) /и

i

(m -Ь 1 )(/п + 2) 52

Iе2+ 4 Я 2с3 шах

(3.1.7)

Теперь доказательство теоремы следует

из непрерывности f(z)

и следующего простого неравенства.

Для любых случайных величин

р,-,

v,-,

х,-, i=\,r,

(Е {max |р,—V,-) 2})1'/2 < (Е {max |р, -

х,-] 2})г^ +

i

i

(3.1.8)

Действительно, для доказательства

нужно

перейти

к р*,.

V * ,

X * , где

|р*—у* |= max |р,— V,-1

и

х* - ж-

i

при р* = р;

и использовать

неравенство

треугольника. Примене­

ние

(3.1.8)

к оценкам

(3.1.3), (3.1.4),. (3.1.7) завершает доказа­

тельство теоремы.

Для усредненного

критерия

EQ ^пт\Тпт iz)— f (z) Р>

(3-1.9)

где

Е^ означает усреднение (по z) по мере Q, верна

Т е о р е м а

3.2.

Если мера Q абсолютно

непрерывна по

лебеговой мере,

f(z)<^H, то в условиях теоремы 3.1 на п,

т, /,

оценка fnm(z) состоятельна в смысле критерия

(3.1.9).

,

Д о к а з а т е л ь с т в о ,

как и прежде,

проведем в два

эта­

лись лишь ограниченностью

плотности

/(г), так

что в рассмат­

риваемом случае непосредственно имеем

р (St)

■0.

Е«Е£ fr.m (%)

Q (S{)

Для доказательства второй части теоремы разложим

Е*Е&

Р (St) 2

т -

Q (Si)

на два слагаемых,

соответствующих условиям

max Q(S-)<<5 w

max Q(S') > 5 . Для

второго

слагаемого

i

имеем оценку:

EQE«

p )

P(St) 2

Q(st)

/ {maxQ(Si) > 5 } ^

i

^

c(m )— 4 Я 2с3 max

-Л -.

(3J . 10)

i

mo?

В первом

слагаемом разобьем

область интегрирование по Q на.

множества G и Gc, где

G=

z :z £ S

и из

Q (5) <

3 следует P(S)

Q(S)

Для области

G имеем оценку

Е«ЕЧ

f(*Y

P(St)

1 п<г2

(3.1.11)

<HSt)

Очевидно,

что

Q(Gc)—>-0

при

5->0

(3.1.12)

Е« Е£

/(*)-

Р (St) ^ 4 Я 2 с3 max

-+ е 2+ 4

Я 2 Q(GC).

Q (S,)

mo2

Для

завершения доказательства теоремы 3.2 нужно восполь­

зоваться

(3.1.8).

При доказательстве теорем 3.1

и 3.2 была использована

связь меры

Q с

мерой Лебега. Однако в задачах,

подобных рас­

когда P=Q

и Q сингулярна

относительно лебеговой

меры,

убеждает, что достаточно потребовать равномерную

го г

сходи­

мость

^ | U / ( 2)

при

Q(S)-+ о

(3.1.13)

(S —интервал,

содержащий точку z)

без привлечения лебеговой

меры.

Т е о р е м а

3.3.

Если выполнено условие (3.1.13)

и / (г) ин­

тегрируема с

квадратом,

то оценка (3.1.1)

состоятельна в

смысле критерия (3.1.2).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как

и при доказательстве

теоремы

3.2, оценка (3.1.3) проверки не требует.

Докажем,

что

EQ Eg

P(St)m

P(St)

(3.1.14)

и

k

Q (St)

E« EQ P($t)

- m

(3.1.15)

Q (Sd

т

Разобьем область интегрирования по

мере №

на события

| 2

1

Q (Sj) т

Q(S^ т

,

Ym) : max

h

}

h

t — I, г, для (3.1.14)

и на события

ляются из (3.1.6), будем иметь оценки

P(St)

PA S1 - m

< 4

+ / (2).

(3.1.16)

Q (Sd " s

Q (Si)

0

а на множестве (JAtBLимеем

i

P(St) •/(2) < e .

sup

(3.1.17)

z£Si

Q(St)

Доказательство теоремы 3.3 завершается,

если

учесть

(3.1.16)

и (3.1.17) в оценках (3.1.4) и (3.1.7),

а также

интегрируемость

/(г ) с квадратом.

При рассмотрении случая k "> 1

возникают

специфические

трудности: одна лишь

малость Q(5),

где

5 —/fe-мерный

парал-