Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

лелепипед, может не

повлечь за собой близости

р /£)

к f(z).

——-

Q(S)

Sh

Поэтому для обеспечения суживания случайных

областей

при п, т -> с о

приходится разбивать пространство

Rh по

всем

k

направлениям координатных осей.

Пусть X имеет распределение Р, a Y—Q и

Xi (Х-ц,

X^f,...,

Хм),

Yi = (Yy,

Yhf), /= i7 m ,

—независимые

выборки

из X и Y соответственно.

Предположим, что первые координаты F -ов упорядочены в

порядке возрастания УП< У 12

Образуем

теперь

^-мерные

цилиндры Sk{ ,

разбивая Rk

и проходящими через точки, первые

координаты которых име­

ют номера

»i=i

Таким образом, вместе с точками на граничных гиперплос-

костях цилиндры Sih содержат ровно

точек, тг—количество та­

их

возрастания: У21 <

У22< ... < У2т. В каждом цилиндре

S*

образуем цилиндры

проводя гиперплоскости, перпен­

in — 1, г,2'

Гг

h1г2’

2

^*1 ^*2

^*1

^2 —1

Продолжая последовательно процесс

разбиения, получим ци-

k

содержащие

i%ik

точек,

причем

линдры Si i ik,

= 1,

i

11 12 ■ ’ lk—1

8. Г. М. Мания

113

Q

( s

, Н У , , . - . П/)е

h = H K

имеют бета-распределение с параметрами

hxг'а .... ih »

^'l к ■■■ —1~~^'1к

<A

^‘

При сделанном

выборе

случайных

областей

S'j

,•

,-й , если,

например,

Q имеет непрерывную

положительную

плотность по

лебеговой

мере

в

Rk, то

Р

(Si

,

и )

будет

равномерно близ-

--------1

2'' ~.

-

^ . .

ik

)

/ ( 2г,...,

i\i%

ко

к плотности

zft)

в ограниченном цилиндре

|ггК Л ,

£ =

1,/г. Имеет место следующая

Т е о р е м а

3.4. Утверждения теорем 3.1 и 3.2 остаются

в силе, если дополнительно потребовать,

чтобы при

п, т->

с о ,

шах

т

■О,

max

ml: :

■ 0 ,

h is... ih

к.....-4i /. .

h. h ...... ik

li1 i3 ...ih -i

,

кi2 .•-th

max l;

;

i\ 12•■•ih

*!> •••,ih

< c (/i),

h= 1, k .

min

»i>

к..... Чь

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Разобьем

область интегрирования

на

множества

D

- h =

{(У,,, Г 2/,..., YhI):Q(SiJ<*lf

Q ( s j i2)

ni\

< S 2,...

Q ( < )

« д а м , . . . / » )

< 3 ft

5* .

•

ti ta ..• ik

Доказательство теоремы 3.4 следует из оценок

Р 1ВС, . .

< р { 0 ( 4 ) > б 1} + р \ ^ ъ ^ >

ьг } + . . . +

* *1

*2 •••Lk

•

1

Q(5ft)

+

р

Q(S,h h ■■■ik

Q(Si±

<

SM

<

+

... « ^ Г

"*

1

I

г2 ^*'i ig~^~

+

‘ t'l г’а ... tfe

(^'i

ta ... ik +

0

(//'i+ 1 ) ( / ‘i + 2 ) s *

i ^h

... ik +

m

l i 2 . . . ; k

+ 2 ) 5 i

Исследуем теперь

асимптотическое

поведение распределе­

ния

оценки fnm(z). Ограничимся сначала

случаем k— l

П о определению

?

( * ) = / ( 5 ) -

/ nm \со)

—-— »

здесь

l(S) ~ количество

точек из

выборки

попавших

вал (20

20+fl), где

а —расстояние от г0 до

/-Й

ближайшей к

г0 точки из

выборки

у

Следо вательно, случайная

величина I (S)

распределена би­

номиально

со случайным параметром-вероятностью успеха"

т. е.

в принятых

нами

обозначениях для

усреднения а

имеем

*<'• л* Р ) ~ Ы ( ' - Р Т - 1

Р { l(S) = i} = Egb(l, п, P(S)).

(3.2.1)

Q(S)= J*

g(z) dz=2g(z0)a + g'(zQ) j ( z - z 0)dz-|-O(a3).

Zq d

Zq~—(Z

Производяпростые

преобразования в (3.2.2)

и подстав­

ляя выражение для 2 а,

получим:

а

P(S)=/(z0)Q(S)+/'(z0)g(zo) J* zdz4-f'(z0)g'(z0)

z2dz+

•a

I

—а

разложения Р (S)

из (3.2.3),

получим взвешенное биномиальное

распределение со

случайным

параметром f(z0)Q(S),

где Q (S),

как отмечалось выше, имеет

бета-распределение с параметрами

/, т—1+ l . Фактически это есть распределение

количества

/(S J , Х -ов,

попавших в случайную

область

Sl5

имеющую ве­

роятность

f(z0)Q(S):

P {/(S 1) = i} = EQb(j,

/, f(z0)Q(S)).

Здесь

означает уже усреднение по распределению

Q

Р { Q ( S ) < Q } = B '1(/, m - l + 1) j

О

Производя

интегрирование, окончательно п о л уч и м

1

P{/(S1)=i} = C‘ B-1(/,

Ш - 1+ 1)х

х

j

[tf (г0)У [ l - t f (z0)]n~l t™ (1

=

О

- [ /( г ,) ] '

pm+1 pi

m + i+ l,

/ W

) ,

(3.2.4)

^n+m

где В (a, p)—бета-функция, а

I

F(oc,p,

r ,

=

0

— гипергеометрическая функция.

Далее,

f(z0)Q(S) имеет среднее f(z0) —L-. и дисперсию

т+ 1

P {/(S 2) = i} = &

( i,

п, f(z0) —L—)

(3.2.5)

V

т-1-1/

для^ количества

/(S 2), Х -ов,

попавших в область

S2 (неслучай­

ный интервал с

центром в z0) с

вероятностью