Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

т

нако для упрощения записи положим просто п= т.

Распределение сумм

т

т

т

/ = 1

/=1

/= i

где llmj,

l*mj, I3nj, / = l,m ,—последовательности независимых оди­

наково распределенных величин,

причем Zj^, Z^, Z^t представ­

ляют собой индикаторы событий

S, Slt S2 соответственно, зада­

ции распределения обозначим F}„(x),

Ffn(x), F3m(x)

и пусть

Щ) —

распределение

случайной величины

£,

а яд=]Х Dig.

В силу независимости испытаний

Х 1,..., Х п от

Ym

(т. е. в силу

того, что 11т и Z зависят от К ^ ...,

Ym лишь

пос­

редством S), условные распределения примут вид

F'mixW^ Y2......

y

j = F M *lS ),

F2m(x\Yv Y2,...,

Ym)= F*m(x\S).

Т е о р е м а 3.5. При — - > 0

и Z ->oo распределения

m

sup \Flm(xa Z^+E/jj,)—Ф (х)|^ сг( т ,

Z)-~

cF) Z-1/,

i = 1 3.

(3.2.6)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Докажем сначала утверждение, со ­

т

sup

|/*

( х < + Е /» ,) - Ф ( х ) | <

_ А _ V

Е ] / ^ - Е Рт,\*.

(3.2.7)

x~Rl

z%i

/= 1

Для Е |l^j—El3mj |3 получим

/

3

—

E\l3ml-EPmir = [ l ^ f ( z 0)

/ Ы

m-f- 1

m-f- 1

+ /С о)

1 —/( г 0)

l

/

/ /2

m -f

1

/(г« ) - 4 т + 0 Л

m + 1;

m-f- 1

Vm2

Непосредственно имеем также

Eft,

,m

lf(z0)= f(z0)l + O (-L

, ,

m-f- 1

\m

o2l3m= tnf(z0)

l

/

m-f- 1

l - / ( z e) m-f- 1 /

— f ( zo) ^ 1 + 0

( “

] ]

•

(3-2.8)

Остается подставить эти приближения в (3.2.7).

Для

доказательства

(3.2.6)

при

i — 2

применим оценку

нормального приближения для

подынтегрального выражения в

правой

части неравенства

sup

[ Р ^ ( х а /^ + Е 4 ) - Ф ( х ) К

x^R1

< Е &

sup

]F|,(xa/^4-E/|t1 5 )-0 (x )| .

x^R1

(Мы иногда опускаем индексы при операторе

усреднения,

нап­

ример,

Е l*m= Е%Е& {12т15) ).

В силу условной независимости l2mj при условии S

sup

\Ргт(ха1гт+ El*,)—Ф (х)|<

jc^R1

m

< E S i 3 ( F T s ) 2 j E||!" ' _E<" ,|,|S|'

<3’2'9)

EPm=E%Eb(Pm\S) = E&mf(z0)Q(S)==f(z0)t+O

l

m

°2 (Pm15) = mf (z0) Q(5)( 1 -

f (z0) Q(5)) =

= mf (z0) Q (S) (1 +

0(Q (S)))r

E {( Pm,-EPm]\31S) = f(z0) Q (S)+0(Q2(S)).

(3.2.10)

Применяя

эти приближения к

правой

части

(3.2.9),

по­

лучим

c0EQ[mf(z0)Q(S)}-V*[\+O(Q(S))}: ■-cin l-ч,

i + o

[ L

т

Опираясь на получающиеся из (3.2.3) соотношения

Е lm=E% Е%(Pm\S)= E&m[f (г0) Q(S)+c(г0) Q3(5)] =

= /( г 0) ^ 1+ c (2o)~^- j

+ °

o2(l1m\S)= m[f (z0) Q(S)+e(z0) Q3(5)] [1 -

/ (z0) Q(S)-

-

c(z0) Q3 (S)] = mf (z0) Q (S){ 1 + 0 (Q (S))],

E { |Pm,-EPmJ|31 S }= /(z0) Q(5) + 0 (Q 2 (S)),

(3.2.11)

доказательство теоремы для оставшегося случая

ь= 1 проводит­

ся

аналогично.

Из (3.2.8),

(3.2.10), (3.2.11), используя

равномерную

схо­

димость в (3.2.6), а также тот факт,

что

х а ^ + Е / ^ х К / ^ о Й Ь + О Ш | + / ( 2о) /+

+ с(г0) 4 - + О ( L

т“

т

^ “(“ Е 11т=

f(zо) I ( 1* + О

I ''

I I +

/ (z0) I +

О

I ''

—

т

V

\т ,

L=2y 3,

в

качестве оценок для

sup

Frn[xVf (г0)1+ / ( z

о ) 1+

Р

с ( z „ )

— г

-

ф

( * )

x^R1

771

с{ (т,. /) + sup Ф

* 1 1:+ °

1 - П +

x^Ri

+ о ( A ) i-v2

Ф(*> ,.

t— 1,3,

т

sup

.Ф

х- { 1 + 0 ( - - ) ) ] — Ф(х)|

x£Rl

rrv

sup I Ф

х \L+ 0 ' i J - ) ) +

0 (Л\1~Щ.

x£'Rl \

т > +

0:

Ф

х 1+0;

I

+

"(1+9t v

ф ( Г Г | _ ф Ь У ~ г \

- У ~

т )

\ т ]

т

то максимум величины

ф

Vт:)) \

- Ф ( х )

j

L V

имеет порядок не выше

Ф {— )•■

Ф { ----- -

nv

т

т .