Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

< с Д т , / ) ~ 4 г>l-'U+cP

i=-2 , 3 .

(3.2.13)

m

Для приложений, однако,

свойство

асимптотической

нор­

мальности интересующей нас статистики

/(S ) = /nm(z0) / в

фор­

ме (3.2.12) еще

неудовлетворительно, т.

к. кроме неизвестного

значения плотности f(z0) распределение статистики fnm(z0)

бу ­

дет зависеть от „мешающего" параметра c(z0) (см. (3.2.3)).

С

целью

избавления

от дополнительного

слагаемого

с (z)

I3

I

заменив

его

— ■ 0.------ мы можем усилить

требование — -»■ 0,

m2Vf(z0)l

т

Is

т

введения этого

условия вызвана тем,

----- -> 0. Необходимость

т 2

что из (3.2.6) и (3.2.12)

еще не следует

эквивалентность

веро­

ятностей (3.2.3), (3.2.4),

(3.2.5) в смысле

стремления к

нулю

их относительных разностей.

Установим более сильную, чем получаемую из теоремы 3.5

форму эквивалентности

распределений F'm и F*m.

Т е о р е м а 3.6.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Введем

естественную

зависимость

между слагаемыми llmj и сопровождающими слагаемыми 1тг 1.

Пусть

условное

распределение

/,1П;-

и l2mj

при

условии

Y l5..., Yт (т.

е. при

условии

S) задается

вероятностями

сов­

местного осуществления

событий:

р

1,

^ / = М = Р

{ x / 6 S n s 1}I

■Р { ^ / = 1 , ^ - = 0 ) = Р { X ^ s - s , } ,

р |^/ = 0,

^/ = 1}=Р

{ X ^ - S } .

Поскольку S и Sx суть интервалы с

центром в точке

z0 и,

■следовательно, либо

SczSlt либо Sxc S ,

то

разность | Ibj—lmj |

принимает значения

1

и 0 с

вероятностями

/й* = Р {| *$,/-&/1 =

1} = Р (X/ € (S-SJ и (S.-S)} =

= | P (S )-P (S 1)|

и

1— р^2 соответственно.

Используя (3.2.3)

и определение S x,

будем

иметь

^

a = |c(20)IQ3(S )+ O (Q 4 S )).

Ясно также, что знак разности

Imj—lmj совпадает

со

знаком

c(z0); то же самое верно и для сумм

(1т—12т. Это

значит,

что

условное распределение

| 1)£\=| 1)п—1%, | является биномиальным

с

параметром р^2.

Очевидно, далее, что

sup |Flm(xatlm+ Е llm)— Fjn(xa!fn+El^)

| <

x£Rl

sup |Fb{xallm+E Pm\S)-F%(xaPm+EFm\S) | =

x£R}

11,2_p/1,2

F*m((x-y)aPm+E l2m\y,S)dvP

=

E& sup

‘'m

t-,tm <У

x£№

a/ij

-

F*m(xol*m±E l*m\S)

(3.2.14)

Условная вероятность

Fm((x~y)

I У,

S) =

a - £ £

/1,2_С /1,2

< x — y Д2- -=

y, 5

<* llm

a lb

есть вероятность

осуществления

событий S

не менее чем:

(х—у) a/^-f-E Рт раз при условии,

что

событие (S —S J (J (S j—S)

осуществилось ха /^+ Е I);2 раз.

Пусть для определенности c(zo)> 0 ,

тогда

при

фиксиро­

ванных S

и Sa, S^S1 имеем

р I /2

£■I /1 _

/2 .

P{!2m=i,

Цп-1т= /}

г \lm— *

| *m

*171

-i}-

Р {lln~Pm= i\

Для

числителя легко

получаем

триномиальное

распреде­

ление

-

. , , т Г .

.Ч|.

[Р (Sxr

[Р ( S ) - P

№)]'• [1 - Р ( 5 ) ] т -'-Л

t!

/! ( т — t — /)!:

Для знаменателя, как указывалось

выше, имеем биномиальное

распределение

Р { W = i } - b ( i „ m ,

ptf).

(3.2.15)

Отношение этих вероятностей, как

нетрудно

обнаружить, пред­

ставляет

собой бинсмиальнсе распределение

Р {& = * I ^ Г= /} = Ь U т-П

Pm

1

\

1

В силу этого, а также

эквивалентности а /^ ~ а /т,. получим,,

что разность

LE-/b'm

J—

& - E g ,

j / Ь 2 _

S

aim

■< x — у

У,

г / а — Е

I

/ Ь 2 „ р / Ь 2

__ у,

S j

(3.2.16)

I

ьт ^

I

*т

I

I

aim

представляет сумму no

ii вероятностей

(3.2.15)

в интервале o r

(х—у) al^+El^ Д° хаРт+ЕРт,. т. е.

число членов

в

сумме

сов­

падает с г/сг/£, причем

в (3.2.15) надо брать j = yol%l-\-E/^2.

Мы можем оценить члены этой суммы

максимальной

би­

номиальной вероятностью и пел>чить равномерную

по х оценку

разности (3.2.16), которая имеет порядок

2 ®

( я г - К - Е / > 1'2) PjS,) L _

P(S1)

У2

yal^~

1

-РтА

1 —pk

1

“

___ ( 1 + 0

I

V

i

vm l

т

(3.2.14) .с учетом

равенства

П__Р /2

- Е/ ь2

1т

ь

S

X

= г/,

11,2_С /1,2

S U ' / « ( ^ + E a i S ) ,

X

d„P

{ ^

для правой части

(3.2.14) будем иметь

FQ

\У\

d„ Р

/ 1 ,2 ____р / 1,2

■ 1 т

Г ?.. .

5

<

■V2n

т

}Vm(Q(S))

a Ог

< - l ^ E Q Q ( 5 ) ~ C5— ,

(3.2.17)

г 2 тс

.т

что и доказывает теорему (3.6).

Если в (3.2.17) провести

интегрирование

по

d„ Р

/ 1 , 2

all,

и повторить рассуждения, проведенные

при выводе

следствия 1

из теоремы

3.5,

то, учитывая,

что

второй

момент

O f имеет

порядок mQ3(S) + m2 Q6(S),из теоремы

3.6 получим

С л е д с т в и е

1.

x<zri

< c(m ,

(3.2.18)

m2

Согласно (3.2.18) и (3.2.12), имеет место

С л е д с т в и е

2.

L f V ~ [fnm(zo )-f (zo))

w = = = |

сильно

{

V /(z0) J

сходится к N (0,1)

со

скоростью порядка с7

1

i5/*

— = + • с8 ----- .

У

I

т 2

-f- О [т

/

1

Р3/2 I .

т

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Используем

приближение

[64]

Ь(1, тг р) =

tnp(l-p)

ехр

| -т1 (|+0

1

+

О (m -1/a|:xi |3) j

,,

где

х

_

‘ ~тр

1

У тр(\—р)

Справедливо также

приближение-

1

ехр

А ]

1

(1+ 0 М П

Vmp{\-p)

т Г Т ^ Г р

ехр

Imp

Применяя дважды каждое из этих приближений, получимб

Ь(/, ш, fp) =

1

ехр

<

(l—mfp)2

X

V mfp (\—fp)

mfp(\~fp)

X

1

О ( m

l

3

p3>.

\ 1

1 + О I — | -f

—

1

1_

m

m

1

« Ф

[1 +

О И Х

V mfp

mfp

X

1 + 0

/

)

+

О I m i -

i

p3U

m

m

V [mf]p(1 - p )

exp

{ l - \ m f \ p f

( l + 0 ( p » ( l + 0 ( p ) ) X

\mf\p{\-p)

X

1 + 0

(— ) + 0

( m

m

1 8 P 31*

)

L

\mj

{

n