Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

тистически эквивалентных

блоксв“ Slm=Sri\j(S2l~ S u)\J ... я

*покрытия“

Q(Sa — 5 г. 3, г) =

блоков

имели

равномерное

распределение на симплексе с т-f 1 вершинами.

Можно было с самого начала

брать общие

упорядочиваю­

щие функции,

однако на область

Slm пришлось

бы

наложить

одно характерное требование: из

того, что

D (Slm) > D >

0

дол­

жно следовать существование

детерминистического

множества

с

<3(Л);>0 (здесь

D —диаметр).

Это необходико для того, чтобы получить оценку

Р {D (S Im) > d K P { Q ( S ini)> Q C 4 )}~

(3.3.2)

т2 Q2(A)

Отсюда очевиден путь обобщения доказанных теорем.

Требования

(3.3.1), (3.3.2)

всегда могут

быть

удовлетво­

рены для

всякой

заданной

ст-конечной меры

Q в Rk. В

дейст­

вительности, для всякой линейно

упорядоченной

по включению

системы 2

областей Sa в Rh с

непрерывными

граничными

ги­

области Slm из семейства 2. Это можно

показать, полагая <р

постоянной на границах а и

ф(zx)<cp (г2)

при

zx£ ах,

г2£а2 и

Sa c S

Bj. Нетрудно

видеть,

что <p(z) непрерывно продолжается

на все

Rk.

Итак, можно говорить о системе областей вместо системы

функций, например, о системе подобных

кубов с центром в z0.

После соответствующего поворота координатных осей

а-конеч-

ная мера Q не окажется сосредоточенной

на границах

системы

кубов.

Для этого

достаточно указать,

что

с-конечные меры

функции нормального распределения.

Пусть случайная величина X

имеет распределение N(a, а2),

т. е. функция распределения X равна

■F(x) = F(x\a, ог)= 4 - + Ф 0 (—

)

2

\ or

где

v k

I ехр {- т)

о

Произведем выборку Хь г =

1, п, из генеральной совокупности

А й в качестве оценок параметров а и с т рассмотрим выбороч­

i= i

^/■2

Функция

»•=1

F(x)=F(x\a, ст)= —— + Ф 0

х— а ~ + Ф 0 X—X

является

параметрической, оценкой функции нормального распре­

деления.

'

,

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Свойства

F(x)

изучены Н.

В.

С м и р н о в ы м

в работе [59].

Ниже мы приводим результаты из [59].

Некоторую ориентировку

о

характере

приближения

F(x) к

F(x) дают математическое ожидание и дисперсия

F(x).

Оказа­

лось, что

Е F(x) = F(x) +

f —

U -

х —т

Фп

п—1 ф '

х —т

Е [F(x)-F(x)]* = .

+

2п2

Отсюда

(4-1-1)

Е F(x)= F(x) +

Ф'?

^

+ 0 f 1

4п

П

D F(x) — 1

ф :

_ 1 ф ; «

- т

+ <МЛЬ

причем константы,

фигурирующие в определении символа О, за­

висят от х.

Из (4.1.1) следует также, что

Е I

[F(x)—F(x)]2dx:

8 К я

п

Для описания допустимых

пределов

расхождения

между

F(x) и F(x) Н.

В. Смирновым была введена статистика

L(x, s)= max |F(x) —F(x) j=

max

x — x

x —a

Ф о

-Ф»

x^R1

x£Rl

=

max

x — x—a

Ф„

s/a

-%(x)

(4-1-2)

x£Ri

Пш />П(Х) = Р(Х),

Х > 0,

(4.1.3)

п->■°о

где

Pn( X ) = p k ( x , 8)

< -

Ы

\

и

1

у

п

Р(Х)=1 - —

Гехр

cos29

do>,

(4.1.4)

тс

.)

(

|

О

причем переменная ш связана с 9 соотношением

тс

.

/'sin и

9 = —

— arcsin

—= -

приведена в приложении (табл. 3).

Распределением Р(Х)

можно пользоваться

при

проверке ги­

потезы о том, что случайная величина X с нормальным распре­

делением имеет среднее

значение

а и дисперсию о2. Имея оцен­

ку F(x),

найденную по

выборке объема п из

генеральной

сово­

купности X , критическую

область

уровня а для

проверки

этой

гипотезы

устанавливаем

неравенством

L(x,

s) >

,

У п

где Ха—корень уравнения

Р(Ха) = 1 —а.

п,

Согласно (4.1.3), при

достаточно больших

вероятность

того, что неизвестная функция распределения

попадет в полосу

Аа плоскости (х, у), определенной

неравенствами

F ( x ) - - ^ < y < F \ x ) +

(4.1.5)

У п

У п

Пусть

имеются две независимые

выборки

X[*>, i = l , п, и

X f}, / — 1,

т, из генеральной

совокупности

X

с распределением

N(a, а2), на основании которых построены две

параметрические

оценки

Fln(x)^F(x\a^, ? '> )= _L

+ Ф0

J

r = 1, 2,

2

V

ст<')

Для сравнения оценок FO>(x) и Я 2)(х) введем статистику

[31,

36]

Lmn = Lmn(x1,*2; S1,s2) = max 1? s<1>(jc) —

|,

x £ R l

нок F<r).

Ниже мы изучим некоторые свойства Lmn.

Положив

в формуле

Lmn=

щах

(t)

IX

Х-\

- ф „

X — Xr

(4.2.1)

^*0

i

x^R1

x—x9

У-

получим

-mn

max j Фп I- — - | —Ф0(y)

(4.2.2)

I

0

\

*

где

y£R* i

ft.—X1

t_

si

(4.2.3)

Г

So

Выражение (4.2.2) имеет вид

статистики L(x, s),

но к и у

отличаются от

случайных величин

из (4.1.2).

Из (4.2.2) и (4.2.3) очевидно,, что Lmn не зависит от аист.

Таким образом, без

ограничения общности можно предположить

Обозначим

а = 0,

o = L

(4.2.4.)