Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

= b(l,

\mf\,

p) 1 +

0 (p)+ O' — -) -

m.

1

-

1

3

\ ~

+ 0 ( m

Р ^ )

т

Из доказанной леммы следует

С л е д с т в и е

3.

Р

=

/(г 0) = Л = Р

=

/<^о)=Л X

X

1 + О

+ 0 Ц

И - / / 1 < Л < с о .

(3.2.19)'

В случае

f(z0) = 1

(3.2.4)

значительно упрощается

Р { £

= /,

/(2 о)= 1} =

- ^

^

- .

(3-2.20)

а (3.2.5)

принимает вид

Р ilm=i,

f(z0)=l} = b (i,

п,

— L _ \ .

\

т + 1 /

Полагая

п= т и i = 1(фактически рассуждения справедливы для

с \ <

л

с2, |i— lf i < Л < с о )

и применяя формулу Стирлинга,

— <

т

имеем

Отсюда

i

~

V2 пт т Т Т ~

С9 /_1/2 •

(3-2.21)

Из (3.2.19), (3.2.20) и (3.2.21),

учитывая равномерность схо­

димости в (3.2.

18),

получим

С л е д с т в и е

4.

Имеет место эквивалентность

Р {l(S) = ir f(z0)~f}~P

f(z0)= f) ~

- с -

q - у с ц - ^ ,

Остановимся

теперь на многомерном

случае

k~p>1. Чтобы

перенести

на этот

случай

результаты,

полученные

выше, надо

лишь

выяснить,

как

изменится

приближенное

соотношение

(3.2.3).

Пусть Р, Q—вероятностные меры в Rh,

=

плотность

Р

по

Q,

имеющая

производные

по

переменным

г15...,

zh до

третьего

порядка.

Пусть,

далее, Q имеет

положи­

тельную в

точке z0 = (z10,..., zh0)

плотность

по

лебеговой мере

в Rk, обладающую производными до второго порядка.

Область

S (как

указывалось выше)

будет

минимальным

^-мерным

кубом

с центром

в

точке

z0,

содержащим

I точек

из выборки Уt —

Yhi),

5=(z10-a ,

z10+ a )x...X (2ft0-a , zk0+a).

Соотношение, -аналогичное (3.2.3),

можно легко

получить, исхо­

дя из

Q(S)

(2ау

/ ( * о)

P(S) = f(z0)Q(S)+c(z0) \Q(S)]™lk,

где c(z0) .будет зависеть от значений производных

f(z)

первого

и второго порядка, а также производных f(z) в точке z0.

Результаты одномерного случая обобщаются следующим

образом.

Т е о р е м а 3.7. При k >

1

теорема

3.5

и

ее следствие

сохраняются

без

изменений. В теореме 3.6 сходимость имеет

порядок

I VIk, а в следствии 1

теоремы 3.6—порядок

14ш+2'k

т

m*tk '

В следствии

4

относительная

разность

вероятностей

(3.2.1)

и (3.2.4) имеет порядок-------- .

m2lk

§ 3.

ДОПОЛНЕНИЯ

В § 1 рассматривался случай, когда

обе меры Р и Q бы ­

ли известны лишь

по наблюдениям и исследовались асимптоти­

ческие свойства оценок

при

переходе

к пределу

одновременно

по п и т. При этом

п я т

эквивалентно увеличивались

до бес­

конечности.

Интерес

представляет и случай их неравностепен­

Положив с самого начала п со или

т— оо, получим схе-

мы оценки плотности dQ (,г) по выборке

Yx,..„ Ym из Y при

dP

dQ . .

I

S—слу-

честве оценки .—

(z) имеем статистику ----------- , где

dP

mP(S)

чайная область вокруг точки г

(минимальный куб, содержащий

I точек из У-!,,...,

Ym), а при

т= со оценкой служит

статис-

US)

ности по лебеговой мере,

полученные по первой и второй схемам.

В условиях теоремы

2.8

для оценки (2.4.1) по второй схе­

ме при h=ccn~1U, согласно (2.4.2),

имеем

Е [ / „ ( г ) - / ( г ) Р

[ / ( z ) ,

[ / W

а4 ) я~4/6 + 0 (П-4/5).

2 а

.;

36

Соответствующее выражение для первой схемы равно

f/2(z) , [ f

(г)]2

а4 п"4/в + о (/г -4/5),

9. Г. М. Мания

129

что эквивалентно выбору

длин

интервалов

вида

--------

п_1/5.

/(*)

В случае нормальной плотности для отношения среднеквад­

ратических ошибок

в средней точке получим

выражение

4

(18 Y 2 л;а54-а5)

ст4 (144 + л2 а5)

(а2—дисперсия),

минимум которого по а при а =

1 приблизитель­

но равен

1,2.

Правда,

это отношение

стремится

к нулю при

удалении от средней точки.

Мы неоднократно

использовали

тот факт, что случайные

величины

Q(S)

имеют

бета-распределение

с

параметрами I и

m—l-f-1.

Это частный случай более общего утверждения,

принад­

лежащего

Т ь ю к и

[102].

Пусть

Yu...,Y m —выборка из Y с рас­

пределением Q в R\

Пусть <р1от,...,

ym_i, т —заданные в Rk числовые функции

такие, что

Q{z:^ij(z) = a) при

всех

i,

/ и a^R1

(3.3.1)

образуют множества

^ l m = I ^ • Ф'Гт

• •• > Ф т -Zi т

ml ’

где а1т определены

последовательно

следующим образом:

й 1 т = ш а Х Ф г т ( *0) = Ф 1 т ( ^ < 1 > ) .

i

® “ 2 т Г П 2 Х ф 2 т ( ^ ( )

Ф 2 т ( ^ г ( 2 ) ) ’

г =£ г'(1)

х

P{Q (SlJ < x } = —

J - —

Г

В (/,

т - 1 - (-1)

.]

0

Этот факт впервые был обнаружен

У и л к с о м [63] в од­

номерном случае с функциями Ф, равными