Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

Фпт(^)

Ф<)

х —V а

-

ф

0(*)

I

и дЛя исследования фпт(х)

на экстремум рассмотрим уравнение-

= -

ехр

х*

ехр

х*

(х -а )2

- r j = °>

yV2rt

~2

Т

2у2

которое приводится

к

квадратному

уравнению

(у2— 1) х2+ 2 « х —(а2-|-2у21пу) = О

(4.2.6)

с неотрицательным дискриминантом

ГД6

Y2 [а2 +

2(y2— 1) In y] = y2D ^

О,

D = a2+ 2

(y2 — 1) In y ^

0.

(4.2.7),

Если

и ^2—корни уравнения (4.2.6), то

-ань у VD

Предположим,

что s ,< s 2,

т.

е.

y <-'^

Тогда

5х_ a —7

VD

с

_

a + y V D

(4.2.8),

S2—

----:------5------

1 —y2

Из (4.2.5) и (4.2.6) имеем

Ф™(*)<°

ПРИ*<£i и *>&>■

Флт(*)>°

ПрИ ^ < Х < § 2.

Следовательно,

в

точке

имеется

отрицательный минимум-

- и » ,

Г) = Ф0

-Ф о(?х),

(4.2.9)'

а в точке ^ —положительный максимум

U * ,

Т )= Ф 0 ( —

7

) -

Ф«(Ь)

(4.2.10)'

\

/

£ nm = max {!,(« ,

f),.

L2(x,

y)}.

(4.2.11)

При a = 0 , в силу

(4.2.8),

g2 =

—§г;

поскольку Ф0(х)—нечет­

ная функция,

то (4.2.8)

и (4.2.10) дают

и

1,(0,. Г) = Т2(0,

y)

Tnw= ix(0,

y)-

(4.2.12)

dLx _

1

{ —

й

)

> 0.

(4.2.15)

------

А— ехр

—

дх

V 2tz

\

2

Аналогично

дЪг

ехр

-

« 1

<

0 .

(4.2.16)

да.

V2iz

Для случая « < 0

Lnm = U « ,

Г)-

(4.2.17)

Lnm = L,(a,

у).

(4.2.18)

Учитывая (4.2.9)

и (4.2.10),

из (4.2.17) и (4.2.18), при у > 1 ,

будем иметь

■фя- и = 1 VD

-ф„

, й>0,

Т'ПШ

'

1 —у2

(4.2.19)

ф ^ « Г + 1 ^ ) _ ф 0 ( ^ + l K D _ ) , « < 0 .

При

у > 1 (4.2.19)

остается

в силе,

т. к. в этом

случае,

изменяя нумерацию

выборок, мы приходим к рассмотренному

случаю.

Итак, (4.2.18) верно при любом у^ 1 .

Анализируя

(4.2.19),

обнаруживаем

следующие

свойства

■статистики X „m = Lnm(es,

у):

1° Lnm(0, 1)=0;

2°

Xnm( -a ,

y) = L nm(a, у);

4°

Urn Lnm(rx,j)~— при фиксированном a;

у —» со

2

'5°

lim

Lnm(a,

y) = - L - | - Ф0( |a |) при фиксированном a;

у—0

2

6°

lim

Lnm(a,

у) = 2Ф0 ( -—

j при фиксированном a.

7-1

V 2

/

« откуда вытекает

3°.

а>0 (случай а<0

Для доказательства свойств 4°—6° при

сводится к случаю а > 0 согласно чётности

Lnm(a, у) и нечёт­

ности Ф0(х)) рассмотрим функции

«,<«,

Г) П » - Г К « 3 + 2 (Т !-1 )1 П Г ,

1 —у 2

&(«,

у) д « Г - К « Ч - 2 ( у * - 1 ) 1 Пу .

Т е о р е м а 4.1. Если min (п,

т)-+-оо, то

Р , м = Р { ] / Е Е .

< х ) - » Р(Х),