Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

Скачать файл (7,41Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 108

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г Л А В А V

СВОЙСТВА ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В этой и следующей главах собраны теоремы о моментах параметрической оценки плотности распределения и предельном поведении распределения некоторых статистик, характеризую щих погрешность при замене оцениваемой плотности ее пара метрической оценкой и взаимное расхождение нескольких пара метрических оценок, построенных по данным независимых вы борок.

Параметрическая оценка плотности является случайной функцией от аргумента плотности и естественно интересоваться ее моментами, в частности, математическим ожиданием и дис персией, характером их зависимости от объема выборки. Что же касается вышеупомянутых статистик, то, помимо теорети ческого интереса, к ним следует обращаться с целью построе ния разнообразных критериев согласия и однородности,

§ 1. СТАТИСТИКИ, СВЯЗАННЫЕ С ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОЦЕНКОЙ

ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Пусть		f(x, t), где x£ R k, а				параметр t^TczR771,			является
плотностью		распределения вероятностей.						Зафиксируем точку
9 = (01, ...	,	0т ),	принадлежащую			Т	вместе со множеством
i /e,e =• {г1:	\|^ ~ 0 \| О } .			Обозначим		Pt	вероятностную		меру	на
ст-алгебре	ЭЗ* борелевских				множеств		из Rk,	соответствующую
					оо
плотности	/ (х; if),		и	пусть	Р=П Ре—вероятностная				мера	в
счетном произведении (Rk,					1
					Э3\ Рд)00 вероятностного пространства
145

, Ж, Ре)

самого

на себя.

Допустим, что

случайный вектор

распРеделен с плотностью /(*)= /(*;

Х„

i= 177Г

явля

ется выборкой объема п из

генеральной

совокупности X.

Как

о ычно, под

оценкой

параметра 0 понимается

m-мерная век

торная функция 0=

(01.....Х„) 0Т ВекТоРов вы-

pji, а под параметрической^оценкой плотности f (х;

0)— функ-

циnJ(x)=f(x;Q). От^оценки 0

естественно

требовать,

чтобы

ностькх ~ 1’

Т°ГДа

^ Х'

вероятностью

]

является

плот-

Определение

Статистика

Ф (0)= и

j [ f ( x)-f(x)\2dx

называется

средней

квадратической

погрешностью

(с. к.

п.)

оценки

f(x)

плотности f(x).

В связи с с. к. п. следует обратить внимание на возмож

ность

оценки

расстояния по

вариации [ 11]

меры

Рт

от

меры

рц

иаш*“

условиях

р.н

вероятностью

является

аб-

П е р ™ н Т т ь ю Т ° Й СЛу,айной

веР°ятностной герой.

Тогда с

4 “! ,' рТ<Л) - />е(У1)|=1 J 1ГМ-/М1 dx

И если Т(X)

по вероятности

стремится

f(x)

почти всюду по

то по теореме Шеффе [100] левая часть этого соотношения

стремится к 0 по вероятности. Согласно неравенству Коши,

f v w -

f w

idx < ~ r= - [ф Ш 11*

2. V

и если предельное распределение Ф(0) обозначить Flu) то при достаточно больших п получаем оценку

Р	1< 4 - j / i } > F ( U).
Определение 2. Статистика
Y (0) = n	dx
	Н.Х)

*) Все интегралы берутся по & , есЛи не оговорено противное

147

называется средней квадратической относительной погрешнос

тью (с. к. о.	п.) оценки f(x)	плотности fix).
С. к. о. п. привлекает внимание аналогией со статистикой
Пирсона, а ее	название исходит из того,		что
	¥ (9 ) = п Г	/ ( х ) - / ( х )	’ dP0.
		fix)

При этом усреднение происходит по мере Р9, в то время как в

случае с. к.

п.

квадрат

погрешности

усредняется

по

мере

Лебега.

X извлечено

Пусть

теперь из

генеральной

совокупности

s ^ 2 , независимых выборок

Х(-\ / = 1 , п г, t =

s, на основа

нии которых построены

оценки 0(‘-)= 0 w(Х{'\..„

ХЦ> ), i =

l , s ,

Т с

параметра 0, принадлежащие

вероятностью

Соответст

венно имеется s

оценок

Д .(х)= /(х ;

9ll))

плотности

f(x),

взве

шенную среднюю

которых обозначим f(x):

f(x) =

У ]

nJiix).

i = 1

Для описания взаимного расхождения

оценок ft(х)

друг от дру

га

введем

статистики,

получаемые

из сумм

Ф(в1'>) и

t =

^ (9(1))

заменой /(%)

функцией /(х ).

i = 1

Статистика

О п р е д е л е н и е 3.

Ф(0(1),...,0 « ) =	[fl { x ) - f i x ) r d x
	i = 1

называется средним квадратическим расхождением (с. к. р .)

оценок fi(x), £—1, s,	плотности f(x).
О п р е д е л е н и е	4. Статистика
¥ ( 0 « , ....	Г [// ( х ) - /( х ) Р ■dx
	fix)

148

называется средним квадратическим относительным расхожде

нием (с. к. о. р.) оценок / £(х), i = l,s, плотности f(x).

Итак, в настоящей главе изучаются моменты f(x) и пре дельные распределения определенных выше четырех статистик.

Моментам /(х ) посвящен § 2, где, при условиях, накла

дываемых на оценку 0 и производные /(х ; t) по параметру, ус

танавливаются 4ормулы для вычисления Е /(х) и D / ( x ) с точ- / 1 \

ностью до О f — ] [69].

\пг I

В§ 3 даны теоремы из [1, 14, 63, 83] о распределении некоторых функций от нормальных и асимптотически нормаль ных случайных векторов, которые находят применение в этой главе и главе VI.

Предельные распределения с. к. п. и с. к. о. п. изучают

ся

§ 4,

а предельные распределения с. к. р. и с. к. о. р.—в

Сказывается,

что в некоторых

условиях

предельное

при

min пг-> со

распределение

с. к. п. совпадает

распределением

некоторой

квадратичной формы от нормального

случайного век

тора

[68],

а распределение

с.

к. о. п.—с

распределением

х 2 с

степенями

свободы [71].

Что

касается

предельных

при

min

распределений

с.

к. р.

и с.

к.

о. р., то

они

являются

(s—- 1)-кратными

свертками предельных распределений

с. к. п. и

с. к.

о.

п., соответственно [68,

70,

71].

§ 2. МОМЕНТЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Нижеследующая теорема устанавливает формулы для вы

числения Е f(x) и D /(х ) с точностью до О |—y j > причем конс

танта, ([игурируюшая в определении О, зависит от х, хотя эта зависимость не подчеркивается каким-либо обозначением. Ниже тип константы в О будет ясен из контекста. Отметим, что ма тематические ожидания берутся по мере Р.

Обозначим

drf{x\ t)

, ц ,..., tr= l , m , r = l , 4 .

(5.2.1)

dt: ...dti

*1 V

149