Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 107
Скачиваний: 0
здесь
а / = Л/- |
Рр ( — |
Ср |
Для вычисления F(х) важно, что погрешность приближе ния ряда (5.3.3) его частной суммой равномерно по х стремит ся к нулю при дополнительном ограничении на А
— |
max А, < А < |
min А,. |
(5.3.4). |
|
3 |
i |
1 |
i |
|
При условии (5.3.4) для остатка Rp(x) ряда (5.3.3) имеем |
||||
sup RJx) |
< А Р = - |
|
X |
|
0<х<( |
|
~ ъ т г / п + 3 |
||
|
|
у |
к 0” /3 Г “ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
я + |
2 |
X |
р+1 |
1 |
- + |
(5.3.5): |
|
Н И - Т ) |
Г ( А |
||
|
|
|
||
где о = max — . i а
Следует отметить, что в работе Гурланда [83] допущена ошибка: в правой части формулы (10) на стр. 39, выра жающей F (х), слагаемое 1/2 излишне.
Рассмотрим теперь последовательность случайных векторов
У „ € Я га, « = 1 ,о о , |
и постоянный вектор |
a £R m. Нас интересует, |
||
предельное |
распределение функции от |
Yn при условии слабой |
||
сходимости |
распределения |
вектора ] / |
п (У „—а) к N(О, С). |
|
Т е о р е м а |
5.4. Пусть |
распределение случайного вектора |
||
У п (Yn—a) слабо сходится к N (О, С) uw(u) есть функция от и= (и1,..., ит), которая в окрестности точки а имеет непре рывные частные производные.
/ |
dw \ |
/ dw |
ненуле— |
а) Если вектор grada w= |
/а |
— |
|
\ |
\ |
|
вой, то распределение случайной величины
V П(ву(Уп) —ш.(а))
слабо сходится к N (0, (g ra d ^ )' Cgrada w).
156
б) Если же gradany = 0, и в окрестности точки а сущесгтвуют непрерывные частные производные w{u) второго порядка, причем значения последних в а не все равны нулю, то распре деление случайной величины
n{w (Yn)-w (a ))
слабо сходится к распределению квадратичной формы
т |
|
JL V ( ^ ) |
Y.Y. |
2 jmJ \дщди, |
а 7 |
г, /= 1 1 1 |
“ |
от компонент случайного вектора Y с распределением N (О, С).
При доказательстве этой теоремы используются формула Тейлора с дополнительным членом в форме Лагранжа и свойст ва эквивалентных по вероятности последовательностей случай
ных величин. Нужно учесть, что из наличия у вектора Уп(Уп—а) предельного распределения следует сходимость по вероятности
случайного вектора Yn к вектору а при |
и |
со. |
|
|
Теоремы, аналогичные теореме 5.4, |
а |
также |
некоторые |
|
ее обобщения с |
использованием высших |
производных |
читатель |
|
может найти в |
[1, 14, 63, 68]. |
|
|
|
§ 4 . ПРЕДЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Т е о р е м а 5.5. Если |
|
|
|
|
|
1° |
почти всюду по х, |
| ас(x; |
t) |^ G (х; |
0) £ L3 |
при t 6 f/e,8 |
и а{(х; |
t) непрерывна по t |
в i / 0/e, £ =l,m; |
|
|
|
2° распределение случайного вектора У |
п (0 — |
0) = Vn = |
|||
= (V ln,..., Vmn) слабо сходится к N (О, С) при п-*-со, |
|||||
то |
lim Р {<J>(0)<w} = .F(u), |
|
(5.4.1) |
||
|
|
||||
|
П — 00 |
|
|
|
|
где F(а)—функция распределения |
неотрицательно определенной |
||||
квадратичной формы |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(V; 0 ) = 2 ] |
л о ( 0) Vtv i |
|
||
£J=1
от компонент вектора V=(Vv ..., VУ) с распределением АГ(0, С),
157
где
Atj (0) = |
\щ(х\ 0) £*/(*; Q)dx. |
|
(5.4.2) |
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
По |
формуле |
Лагранжа |
почти для |
|||||
всех х |
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x; t ) - f ( x ; |
0 )= ^ £ J |
«Д *; 6(*> |
0 )(^ -9 г ). |
|
(5.4.3) |
||||
|
|
|
i= l |
|
|
|
|
|
|
где точка 0(х, |
лежит внутри отрезка прямой, соединяющей 0 |
||||||||
и t. Отсюда и из |
условия |
2° |
получается, |
кстати, |
что |
f(x;t)~ |
|||
—f(x\ 0 ) £ L 2 при |
t£Ue,е- |
|
|
|
|
|
|
||
С вероятостью |
Р(0£^й,еК |
стремящейся, по |
условию 2°, |
||||||
к 1 при п—>~со, верно |
соотношение |
|
|
|
|||||
ф ( 9 ) = ^ |
^ |
|
/n j |
йДх ; 0 (jc, 0)) aj{x; Q(x,Q))dx. |
|||||
i,i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, применяя теорему о мажорированной сходимости интег ралов Лебега, получим, что предельнее распределение Ф(0) сов падает с распределением Л(П; 0). Теорема доказана.
Заметим, что при любом V
0 < Л ( П ; 0) = J [V'grade f(x; t)\2 dx.
В |
теореме |
5.5 |
мы |
не располагали |
явной |
зависимостью |
Ф (0) от |
0 и нашли |
его предельное распределение, минуя ре |
||||
шение интеграла. |
Если же |
вычислить Ф(0), |
то |
очевидно, что |
||
поиск его предельного распределения вписывается в рамки тео
ремы 5.4 с функцией |
|
® (0 = J [/(х ; 0 —/(*; 0)? dx. |
(5.4.4) |
При этом оДв) = 0 и, поскольку при ^=0 налицо минимум, то, если первые производные по параметру существуют, они равны нулю в точке 0.
Продифференцируем теперь w(t) формально два раза:
~ = 2 j [/(*; 0)]аД х; t) dx,
158
<j2tl> (О |
2 |
{[/(*; |
0)] aif(x; |
t)+ai(x; |
£)} dx. |
|
|||
dt{dtj |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
если |
вдобавок |
к условию 1° |
теоремы 5.5 |
пот |
||||
ребовать |
выполнение |
условия |
|
|
|
|
|
||
3° |
почти |
всюду по х, |
| аг ■(х, t) |
| ^ |
6\ (х; |
8) £ L2 |
при |
||
^6 Я е.Е, С / = Г т ,
то grade да = 0 и частные производные непрерывны в U0>е, причем
1 dw
2 |
= A /(9\ |
dtjJ e |
второго порядка w(t)
(5.4.5)
Итак, верно следующее |
|
|
|
З а м е ч а н и е к |
т е о р е м е |
5.5. Если выполнены |
условия |
1° и 2° (теорема 5.5) |
и условие |
3°, то коэффициенты |
предель |
ной квадратичной формы для случайной величины пш(0) = Ф(9), подсчитанные при помощи теоремы 5.4, совпадают с коэффици
ентами, установленными в теореме 5.5, т. |
е. верно соотноше |
||||
ние (5.4.5). |
Н (х, 0)—некоторая |
|
|
|
|
Пусть |
неотрицательная |
функция от |
|||
x-£Rh, зависящая от параметра 0. Обозначим |
|
||||
Ф(0; Н) = п y f(x ) - f(x )}2 Н(х; |
0) dx. |
(5.4.9) |
|||
Последняя |
статистика |
является |
взвешенной с функцией Я (х ; 0) |
||
с. к. п. оценки 0(х). |
Очевидно, |
что |
|
|
|
Т ( 0 ) “ Ф ('е ; ДДе>
Пусть g (х) £ Е2(Н) для функции g (х) означает, что
g2(х) Я (х; 0) Ф х<со.
Ясно, что с очевидными изменениями в формулировке тео
рема 5.5 верна |
и для |
Ф(0; |
Я). |
|
|
|
||
Т е о р е м а |
5.9. |
Если |
выполнены |
условия |
2° и |
|||
4° |
почти |
всюду |
по |
х, |
| щ(х; /) |
| ^ |
G(х; |
0) 6 L2 (Я) при |
и аг(х; |
t) H V B,e непрерывна |
по t в UBri, |
t= l,m , |
|||||
то |
|
lim Р (Ф(0; |
Н)<Си} = Ен (и), |
|
(5.4.7) |
|||
|
|
|
||||||
|
|
Я — со |
|
|
|
|
|
|
159