Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 104
Скачиваний: 0
|
Т е о р е м а |
5.1. |
Если |
|
||
1. |
Е ? = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
___ |
О / 1 |
\ |
3— |
||
2. |
Е (0f — ©,)•= |
|||||
|
|
|
Ы |
’ |
‘ |
'm; |
3. |
ailpq(x; t), i, |
/, |
p, |
q = |
1 ,m, |
непрерывны no t |
4. |
[ j 2(x)dP = 0\ |
:E ) • |
|
|
||
|
1 |
I |
|
|
|
|
|
•j |
|
|
|
|
|
Ac
где Ап—цилиндр в (/?'1)со, основание которого находится в (Rk)n и состоит из тех точек, для которых
0' n 6 V e i e o = { < : I f - e I < e 0} , s 0< e ,
то
т
Е T (x)4(x) + Y |
^ a j7(% ;0) |
Е ( 0 , - 0 , ) ( 0 , - 0 ; ) + |
|||
|
|
|
i j = l |
|
|
т |
|
|
- |
|
|
+ Т w |
a i } p ( x ; |
e ) E |
( 0 / - 0/)< ® p - 0 p )’ + . 0 Ы ) |
(5 -2 -2 > |
|
i,j,P= 1 |
|
|
|
|
|
U |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D 'fix) = |
a, (x; 0) a.j(x; 0) E |
(0,—0г) (fy—07) |
4- |
|
t,/=l
m
+2 at(x; Q)a}p(x-, 0> E fa -W B j-Q ,){% -&,) +
*,/.P=l
|
+ 0 ( i , j . |
^ |
<5.2.3, |
|
З а м е ч а н и е . |
Из условия |
3 вытекает существование ко |
||
нечной функции G(x; 0), которая |
при t^V e^o и |
всех х огра |
||
ничивает сверху |
абсолютные |
значения |
f(x; t) |
и ее частных |
производных по t до четвертого порядка включительно. |
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как, согласно неравенству Гель- |
||||
дера, из условия 2 |
следует, что |
|
|
|
1Е0 |
|
|
|
|
Е П (0'г - |
% ) < Е П | 0 , - % |
г= 1 |
г= 1 |
г Р |
1/6 = 0 ^ 1 |
|
|
Lr = l |
( tlpk |
|
то по неравенству Чебышева
Р {Ас„ } = Р {10 - |
0| > г0} < |
г0~6 Е |0-0|« = |
|
|
ш, |
|
|
= £Г6 Е |
2 |
( в / - 0/)2 |
= О ( — }. |
|
73 |
||
i = 1
Из (5.2.5) и условия 4 вытекает
(5.2.4)
(5.2.5)
f(x )d P ^ ( Р(х) dP |
dP |
= |
|||
Лс |
|
А*' |
|
Ас |
|
sin |
|
sin |
|
s*n |
|
— О ( — ) |
|
[Р (А'п)]Ч, = |
0 |
( - } - |
(5.2.6) |
п / |
|
|
|
\ п°12 |
|
■откуда |
|
|
|
|
|
•Е f(x) = |
j |
? (* ) |
j* ? (* ) dP -f J /(X) dP: |
||
■ ( « * ) * |
An |
Acn |
|
||
= j |
? ( * ) dP + 0 ( ^ - |
|
(5.2.7) |
||
Постараемся получить |
аналогичное представление |
и для D fix). |
|||
Считая (5.2.2) доказанным, из (5.2.4) |
имеем |
|
|||
Е /(* ) = /(* ) + |
0 ' |
1 |
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
D /W = Е [Т (х )-Е ?(х )Р = Е / ( x ) - / ( x ) + О
= ,Е [/( х ) - Д х )]2+ 0
151
Поскольку, согласно (5.2.5), (5.2.6) и условию 4,
\ f(x)-f{x)fd P = |
[j> {x )d P - 2 f{x ) |
я-п |
fin |
А с |
А с |
1 '
- / 2W J dP = О w
Асп
ТО
D / (*) = \ [f{x )-n x )fd P + 0
An
В силу (5.2.5) и условия 2,
| Т(х) dP+
finA c
(5.2.8)
f |
П № v - % ) |
|
^J |
.t* |
|
II |
|
О |
dP |
П ( 0 ц - 9 ц rdP |
|
V/ |
|
r = 1 |
р /«
о Ш Г р/, - о ( Л ) ,
dP i-р/.
fiА Пс
/?=0’ з>
откуда следует, что
f П^ - %)dP=ЕП |
- ь )+ |
|
V =1 |
' =1 |
|
4 o ( L y |
р= ОТз. |
(5.2.9) |
Для подсчета j / (х) dP подынтегральную функцию пред
ал ставим по формуле Тейлора е остаточным членом в форме Лаг
ранжа с четвертыми производными
|
|
m |
|
|
^J(x)dP = f(x) j1 dP+ |
at(x\ 0) |
j*(0 ,--0f) dP + |
||
An |
An |
i==1 |
|
An |
m |
|
|
|
|
- f y 2 |
Щ,(х\ |
ft) j f o |
- 0/) (0y |
0j) dP + |
«• /=1 |
|
Лл |
|
|
152
+ ~ |
|
aliP(x;Q) |
j, (0/- 0 /)(0/- 0 /)(0„-0p)rfP + |
i, /, |
р=1 |
|
An |
+ Y 4 |
У ] |
J W |
* ’ 0 * W ) ( 0 t - 0 i)(0 / - 0 / )'(0p |
«. /. |
p. |
|
|
—0p)(0q —0q)
где 0*(x) лежит на отрезке, соединяющем 0 и 0. Из (5,2.4) и-
условия 3 следует, что последняя сумма является О . Сог
ласно (5.2.9), интегралы во всех предыдущих суммах равны математическим ожиданиям от подынтегральных выражений с
точностью до О . Теперь для получения (5.2.1) остается
применить (5.2.7).
Перейдем к доказательству (5.2.3). На множестве Ап, 0(ху представим по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа с третьими производными в точке 00* (х) (0* (х) находит
ся на отрезке, соединяющем 0 и 0). Согласно замечанию к. теореме и соотношению (5.2.4),
-(—— aijp(x’ 0о(л'))(0г 0()(6/ 0/)(0р 0>) dP—
т
153,
т
~v
откуда., применяя (5.2.8) и (5.2.9), получаем (5.2.3). Теорема доказана.
Теорема 5.1 не претендует на большую общность, но она полезна хотя бы потому, что в ее схему хорошо вписывается обычная параметрическая оценка многомерного нормального рас пределения (глава VI) и с помощью этой теоремы существенно упрощается подсчет ее моментов.
§3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИИ ОТ НОРМАЛЬНЫХ
ИАСИМПТОТИЧЕСКИХ НОРМАЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ
Впоследствии мы часто будем сталкиваться с квадратич
ными формами от нормальных случайных векторов, которым посвящено несколько теорем, приводимых ниже.
Пусть случайный |
вектор |
У £ Rm имеет |
многомерное нор |
||||
мальное распределение |
N (О, |
С) |
с нулевым |
вектором |
средних |
||
значений и невырожденной матрицей ковариаций |
С. Заметив, что |
||||||
все рассматриваемые векторы—столбцы, обозначим S |
симмет |
||||||
ричную матрицу myi.ni с действительными элементами. |
|
||||||
Т е о р е м а 5.2. Если |
Y имеет распределение N(О, |
С), то |
|||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
Y’SY= ^ |
\Z\, |
|
|
(5.3.1) |
|||
■где Zly..., Z m -независимые случайные величины, |
распределенные |
||||||
N(0, 1), а Я.1,...,Х т суть корни уравнения |
|
|
|
||||
|
I 5 - Х С - 1! = 0 . |
|
|
(5.3.2) |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Как |
известно |
из |
теории |
матриц, |
||
существует невырожденная |
матрица А такая, |
что |
|
||||
154
11
A'C-1A = I,
где / —единичная матрица, а Хх.,..., \т—корни уравнения (5.3.2) [2]. Все эти корни вещественны, и очевидно, что количество нерав
ных нулю среди них равно рангу матрицы |
5 . Когда S неотрица |
|||||||||||
тельно определена, все неравные нулю X,- положительны. |
||||||||||||
|
Обозначим Z=A~l Y. Z имеет распределение Л/(0, Л-1С(Л"1)/, |
|||||||||||
т. е. N(О, I) |
[1]. |
|
Так |
как |
Y'SY^Z'A'SAZ, |
то |
(5.3.1) оче |
|||||
видно. |
|
|
Если |
т-мерный |
вектор |
Y |
распределен |
|||||
|
С л е д с т в и е . |
|||||||||||
N (О, С), то |
Y' С"1 |
Y |
имеет у2 распределение с |
т степенями |
||||||||
свободы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно теореме 5.2, для того, чтобы найти |
распределе |
||||||||||
ние |
квадратичной |
формы Y'SY от компонент случайного векто |
||||||||||
ра, |
распределенного |
N(О, С), |
нужно уметь находить |
распреде |
||||||||
ление линейной комбинации |
квадратов |
независимых |
случайных |
|||||||||
величин, распределенных N (О, 1). Общие |
формулы |
для функ |
||||||||||
ции |
распределения |
таких |
|
комбинаций |
даются |
в работе [83] |
||||||
для случая положительных |
X,. |
|
|
|
|
|
||||||
|
Т е о р е м а |
5.3. |
Функция распределения |
случайной вели- |
||||||||
личины |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ z i
i= l
где Хг> 0 , i=\,m, a Zx,..„ Zm—независимые случайные величины* распределенные N (0, 1), равна
UV |
|
I |
|
|
F(x)-- |
|
|
i Ус* <?Л +1/( - i . |
(5.3.3) |
1=0 |
/= 0 |
|
|
|
где Gf (x)—функция распределения |
у 2 с / степенями свободы, |
|||
X—произвольное число такое, что |
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
щах Х(-, |
|
|
|
|
2 |
i |
|
at~ коэффициент г* в разложении |
|
|
||
|
Ш |
|
Рр гр\ |
|
|
u |
2 * |
|
|
|
i— 1 |
р = о |
|
|
155