Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

Alj(Q-,H)= \ at(x;

0 )a y(x;

9) Н(х; 9)dx.

(5.4.8)

Из этой

теоремы

следует

Т е о р е м а

5.7.

Если

5°

почти всюду

по х,

at(x\ t)

непрерывна по t

в С/0<е и

at(x; 9)

| ^ G(x;

9) £L2

1

при t б Я е>Е, i = l , т ;

А, е; 1 =

\а[(х-, Q)al(x; Q )-1 — dx, i,

/ = 1 , т , (5.4.9)

/(*; 0).

длг; 0)

то

Нш Р {¥ (0 )< и }= < 3 т («).

(5.4.10)

1

tqxq~x е~1Х,

*>о,

(5.4.11)

f(x; 0 = Г (q)

х^.0,

0,

то очевидно, что отсюда

при условии

1° *> (теоремы 5.5) выте­

кает соотношение

Нш

Р

Ф (0<'))<м = Fs*(u),

(5.5.1)

min п;

-*■ со

t=l

t

где F (и) —функция расгфеделения из

(5.4.1), a Fs* (и)

означает

s-кратную свертку распределения F (и) с самим собой.

В § 1 была

введена

статистика

Ф (0(1), ... , 9(s)),

получа-

ф (0(1) ,0> ))

= J h J h _

\fl{x)- J 2{x)Y dx.

«1+ «2

J

В работе [98] было доказано, что

при условиях теоремы

5.5 н

условии 3°

Р ( Ф ^ 1), '0<2))< a } = F(u),

lim

ОС

т. е.

при s = 2 замена

f(x)

в сумме Ф (0(1)) +

Ф (0(2))

функцией:

f (х)

приводит к понижению на 1 „степени свободы“

предель­

ного

распределения (5.5.1).

Это

явление привлекает

внимание

аналогией со следующим фактом:

в то время

как сумма

квад­

ратов независимых случайных величин с распределением N(0, 1)

имеет распределение f

с s

степенями свободы, то сумма

квад­

ческую,

имеет

опять-таки ^-распределение,

но с

s—1 степе­

нями свободы.

Упомянутый

результат о распределении Ф(9(1),

0(2))

сле­

дует из

теоремы

5.8 [70, 71], которая утверждает,

что

анало­

гичный эффект

понижения степени свободы

предельного расп­

ределения (5.5.1)

наблюдается и при s > 2.

Т е о р е м а

5.8. Fcau выполнены условия

1° (теоремы 5.5)

и 7°, то

')

Обозначения 1°— 6° сохраняются для условий из § 4.

lim P {Ф(0<1>)...,0(8))<ы} = Я5- 1)*(«),

(5.5.2)

i =

1

»= 1

S

я

2

M 7 - f ) 2-

-

2

м 7 - / )

» =

i

Итак, обозначив

tb

ос)=— , имеем

п

a

s

2

м 7 - / ) г=

2

“ ^ М Ь - Я

i= a

i

L‘ =

i

I

Пусть

U(x) = (U1(x),...r

U,(*))

—вектор с

компонентами

U,(x)=У~п7 [/ (х\"в ^ )-

f (х; 0')],

i= 1, s .

В этих

терминах

(если

| X |означает норму

вектора

X )

о

2

M 7 ( * W

W ) 2=

l f W

\

]

ctff/Д х)

( =

1

Существует

ортогональная матрица,

зависящая от

ns

В=\\ЪЦ\Г t, / = 1 ~ „

s

~]2

s — 1

Г

s

2

«</,<*>

= 2

' ^ i b4 Ui ^

t =

1

t =

i

L/ = i

Согласно (5.4.3),

с

вероятностью

s

P {0^ £ £/0>g}, стремящейся

i= l

по условию

7° к

1

при m in ^ -^ o o ,

верно соотношение

s— 1

s

2

2

w

*

»

-

i= l

/ = 1

s—1

s

m

=

2

2

'A ' 2

м *

0<*' ^

и1"<

*= i

/ =

i

1=1

Учитывая, что

m

dx=

/= i

/ =

i

m

s

2

a<(*; e ) 2

ьч щ

dx=

1= 1

/ =

1