Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

При оценке

параметров

а и 'С но выборке! Х(а),

« = 1 , п,

из генеральной

совокупности

X с логнормальным распределе­

нием, обычно рассматривают преобразованную

выбо]рку

1п Х (а>,

а = 1 , п. Последняя является

выборкой из совокупности|1п X с

плотностью п(х\а, С). Поэтому

в качестве

оценок -'а и О 'ест­

ественно брать

[16, 17, 18, 69]

1

П

0 =

— 2

1п

1

Х<а)—a) (In Х ад -'аГ .

а =1

Теперь положим

/п (х| а, С) — Ьп(х[а, С).

Ясно, что при х 6 Пк+

k

Eln(x\a,C) =

Хй1 E n (\n x [a ; £)

a = l

D /n (x | a , C)—

J J

x^2 D « ( ln x ] a ,

C).

0—1

Из этих соотношений

и теоремы 6.6* следует

Т е о р е м а

6.9 [69]. При х£П к+

E /n (x| a, С)==/п(х|а, С)

11 -(- —

[ ( (In х —а)'С_* (In х*—а) )г—

(

4п

— 2(k-\-1) (In х —а)ЛС"1(1п х —й) + &2] j

-рО

j .

D fn(x\a, C )=

_ L !n2(x\a, C)

J [ (In х - а ) 'С - г (1п x ^ a )]2+ & j - - f

+ 0

1

n2

Обозначения

Ф(п, С),

¥ (0,

С)

■сохраним

для

с.

к. п. и

с. к. о. п. параметрической оценки

плотности 'нормального ра­

спределения и введем новые обозначения

и

^ ( а , £) = ¥ ( £ С).

В самом деле,

согласно (6.6.1),

f

h

1а’ С)—п(1пх|а,

IX х й 1Iя0nх

С )]2сД =

а=1

/?* +

=

п 1

[п(х\а, С)—п(х\а, С)]2Д*: = Ф (ат С),

ЦГ^а,

_ х [n(lnx]a, С)—д(1пх\а,

С)]2

,

X“

n(ln х\а, С)

— п

\п( х [а, С)—п{х\а, С )]2

С).

п(х|а, С)

dx = ¥ (a,

Статистика Фх(а, С) требует

отдельного рассмотрения.

Ее

предельное

распределение, наряду с моментами In (х |а,

С),

при

k —\, 2 изучалось

в [16, 17, 18].

При k—\, например, предель­

4 Vtz cV c

£i ?г ~Ь

+ _ (1 2 + 4 c+ ^ ) «

от независимых случайных величин

£2 со стандартным нор­

мальным распределением.

Т («)= - р = 1 — ехр — ( а - а „ )2

(6.7.1)

тезе

совпадает с

распределением

случайной величины

— \ = г то2,

где

7}

имеет распределение jV(0, 1). Стало быть,

4 К тс

Игл

Ря

{4 ]/тс Ф(а) <

«} =

Gx(u).

(6.7.2)

п—«

0

Зафиксируем иа такое,

что

Gi(uq) = 1—а.

(6.7.3)

Тогда,

согласно (6.7.2),

правосторонняя критическая

область

< 6 J '

4 )

для больших п имеет приблизительно

вероятность

а

при нуле­

вой

гипотезе

ря0т ~ « -

В качестве второго критерия выберем критерий у2 Пирсона

[14], который строится при помощи статистики

т{

Pi

2? = п

п

■-nY2,

(6.7.5)

Pi

где

вероятность

того, что

вычисленная при нулевой гипотезе, — со = « 0< и 1<

w2<

•••< ыг =

= оо,

а т ,—число тех

выборочных значений,

которые

попали

в

интервал [ы;_15 ut),

___

I

/п{-= п

и

I

1-

i= 1, /. Очевидно,

что £]

Л =

простоты I =

i= l

i= l

Предполагая для

2,

получаем

два

интервала

( — оэ,

их) и [их,

со). Поскольку

— = 1 — —

и р2—1—рх, то

п

п

-

Pi

+

—

J_ (4±-Pl

Рг

PlPz

\ п

Известно [14], что

lim

Ptf0 (Z2< h} = G1(h).

П~+©о

'Следовательно, правосторонняя критическая область

/<■(*) = I у 2> —

(6.7.6)

п

для больших п имеет приблизительно

вероятность

а при нуле­

вой гипотезе

РЯо {* ■ < « }» « .

Итак, мы имеем

два критерия

уровня а с

критическими

(6.7.4)

и (6.7.6).

Для сравнения

этих критериев надо исследо­

вать их мощности при конкурирующей гипотезе Нх

Р<‘ > (а )= Р Я1{К<‘->}, 1 = 1 ,2 .

Займемся изучением Р(^> (а).

Для этого необходимо вычи­

слить

предельное

распределение

статистики

<р(а) при гипотезе

Нх. Рассмотрим функцию

?(0 =

1— ехр

(t- а оГ

t^R 1.

4

\гъ

1)

t d r

(t - a 0f

exp

?'(0= 2Vn

~

exp

I -

(Ц = -а.!Й

2 Ц п

I

4

I

Так как— и у] одинаково распределены, то, обозначив

5

= 1 ^ — а0],

(6.7.7)

окончательно получим,

что

предельное

распределение случайной

величины

„

Г

-

I

2 Ул5~г exp {52/4}

V *

( I —exp{—52/4})

при гипотезу Яг сходится к

N (0,

1), когда п-*~оо, Отсюда

РЯ1.{/С№ }=РНг

с р ( а ) > —

1

1

{

4 ул п

РНг |2о_1' / 2/4 У~ъ у'п

^

1

—S2 4

>

у(а) -

—^ ( 1 - е

)

У л

> -

«„(25)'1 ехр )52/4}

82/4

25-1 (е

_ 1}^ -

«fc —

— Фп

М 28)-Ч хр(У /4|

_ 2 S - . (/

“ 4 - I ))/-^

где

Vn

1

ехр

U

Л.

Ф0(и.) =

,

] / 2т:

2

О

Нетрудно

показать, что

это

соотношение

выполняется и

при1 Ь,=

сI У 'п .

В этом

случае

(6.7.8)

Установим

предельное

распределение

статистики

У 2 при

конкурирующей

гипотезе.

По определению, Pi = P//0{— °° < Х < ы1} = Ф0(« 1—а0) + ~ .

Вычислим: р[=хРн {— о о < Х < ы 1).

Очевидно, что р[= Ф0{иг —Gi)+

Г

1

1

+ А==р1-гД,

+ —

“ Фо(й1—aoJrao~ a\) 4 - —

=Ф о(й1"~ао )+ —

где

А=Ф0(и1—а0+ а 0~ ау) —Ф0(м1—а„).

Отсюда

р'2= р 2—Д;

Д

может быть отрицательным, если

а0—ах<;0. Предположим,

что

т. е. Д >0, В противном

случае

можно изменить нуме­

рацию pt.