Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

мальным

распределением. Теперь,

обозначая V ~ ( V i v

Vkk)

из (6.2.6)

получим, что квадратичная

форма (6.4.7) равна

- I ( ? S 4

+

2 V Vf,) .

(6.4.8).

V

ui= i

1

i<i

Применяя (6.4.7), (6.2.8)

в

теорему

5.2, обнаружим,

что

/г=1.

V s 4 = 2

« -Ь (* Н -2 )а .

(б -4-9)

г— 1

где вектор ^= (? i,.... ^ )

получается

ортогональным

преобразо­

ванием из У] и тем самым,

как и ч], имеет

стандартное

^-мер­

ное нормальное распределение.

Согласно (6.4.5), (6.4.6), (6.4.8), (6Д.9),

предельное

при

я-»-со распределение Ф(а0,

С0) совпадает с

распределением ква­

дратичной формы

k.

k—l

,

,? i+

| + ( * + 2 ) a

г = 1

01=1.

1=1.

(6.4.10)

i< i

от независимых случайных величин

ч]12, .... Ък^-чУк-пк’

К,г,...Лк с распределением

N(0, 1);

(6.4.10)

представляет

собой

линейную комбинацию трех

независимых

случайных

величин,

имеющих распределение у?

с к, (к -\ )(к + 2)

и 1

степенями

Для вычисления F°k(u) применим теорему Гурланда '(§ 3

гл.

V).

В нашем случае

Хх =

••• =1Ь= 4 ,.

Xft.+1—-•••= Х ъ(к+2)

= 2 ,

X fe{A.+3j = & +2. Удобно

положить X=&-f-2.

2

1

Как показывают вы-

2

числения,

kl~r(k -2 y

/•—I

т - 1

Г (^ 1 )(й '+ 2 )

г! ( t - r ) f

П (* + 2/)

п

2

4-

2/ .

1=0;

/ь=0у

Обозначим

Р {Z<u} = Fh(u) = Fl(2h+s гМ* и).

(6.4.12)

Fh(u) является предельным распределением для Ф(а0,

С0)

lim

Р |Ф(а0, C0)< u } = Fk{u).

Теперь из (6.4.1) следует

Т е о р е м а

6.7.

Предельное распределение с. к. п.. парамет­

рической оценки

п(х \а, С) плотности п(х |а,. С) многомерного

нормального распределения задается соотношением

lim

Р \Y\C\ Ф(а, C)Cu} = Fk(u),

гулярности п(х |г, 5)

относительно г и s также

достаточны

для

этой теоремы. Стало быть, из нее автоматически следует

Т е о р е м а 6.8.

Предельным распределением

с. к. о. п.

па­

У(а, С)— п

[п(х\а, С)—п (х|а, С )]2 Av

п(х |а, С)

является распределение

х 2 -с /г(& + 3)

степенями свободы.

Вычислим W(a, С). Имеем

1+

С)= Г

Q dx= Г п * М Ь'> С><к=

п

п(х\а,

С)

п(х|0,

С)

(С)1/3

| —(х—Ь)' С~г(х—Ь )+ Х -

- — \ dx,

ехр

(2тт:)А/2|С [

где Ь= а—а.

Преобразуем

выражение

в показателе

степени

Полагая х = 0

и х ——с,

получим два условия d——c'Ac,

d— c'Ac—b'c, откуда

с = —

А~ХЬ и

<i= — - L b'A~lb. Теперь яс-

но,

что

2

4

j

ехр

{ - Т

<х ' Л)£+ 6'*>}

,ix “

/ 1

1

= |ЛГ^2 е х р ( —

&'Л_16

- 1Д!1/2 X

И V 8

)

(2тс)ь/3

X

I ехр |— ~

(х-\-с)'А(х+с)\ dx=\А |_1/2 ехр

< 1

|—-&,Л*1&|

* * а ,

(6.5.1)

n\x\b,

C) Av_

n(x |О,

C)

|CI1/2

1]'b} =

exp (P [C'-12(2C~1— C -1)-1C '1- C

|C 112C-1— С -г I1/2

= |CC~X(2 /- С С " 1) Г1'2 exp { (a -a y e -1[2 ( 2 /- C C - 1)"1- / ]

(a -a )}.

2с — с

в пределе при п-> со имеет

распределение

у2 с двумя степени

ми свободы.

Kn(x|a, С) применима

также теорема

5.10.

k

Ха1«(In х\а,

су х е Rh+,

] f

In (х\ а, С)=

(6.6. 1)

о,

х е Rk+.

14. Г. М. Мания

209