Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

Еп(х\ I |0) = n(x |О ,/) П + —

( x 'x - 6 )l

+ 0 ( —

),

(6.3.42).

2 n

n‘

D n(x;

I |0) = —

n2(x

i

0, I) x'x-bO ( —

) ,

(6.3.43)

n

\ n2

а из (6.3.37)

и (4.3.40)-

E n(x;

0 |/) = п(х

|0, /)

1

[(x'x)2 —

l

1 + —

4 n

-

2 (6 + 2 ) x 'x + 6 (6+ 2)]

j

+ 0-^-L.jt,

(6.3.44)

I) n(x; 0 |/ ) =

_L

n2(x |0 , /) [(x'x)2—2 x 'x + 6 ]+ O ^ - L Y

(6.3.45)

2 n

V n2 /

E n(x; С |а)= п(х \а, С)

1 ф —

[(х—а)' С_1(х—а)—6] I _U

2 п

1

+ о Ли

D n(x; С |а)= —

п2(х \а, С )(х —а)' С_1(х— а )+ 0 ( —

п

\ п2

Е n(x; а | C) = n(x | а, С) ( l + -Y

[((х—а)' С_1(х—а))2—

4 п

- 2 ( 6 + 2 ) ( х - а ) ' С '+ х - ^ + б (6 + 2 )] + О

D п(х; а |С) = —

n2(x | а, С) [(х ~ а )' С-1 (х —а)]2—

2 п

— 2 (х —а)' С_1(х —й) + 6

'

1

+ 0

ния с. к.

п. плотности многомерного нормального распределения

в случае

недиагональной матрицы ковариации [39 —43] сведем

стандартизация не дает

нам права пользоваться результатами § 2.

В § 3 было показано, что

:п (х| |а,

С) =

1

п{С-1!*{х -а )10,

/),

V\c~\

п(х\а,

С) =

1

п(С~г12(х—а)\а0,

С0),

V[C\

где матрица С~1/2 такова, что

С"1/2 С (С '1/2)' = /.

Поэтому

Ф(а, С)=п 1 [п(х\а, С)—п(х\а, C)]2dx=

п

(х—а) |а0, CQ)-n (C -'l*(x -a )

dx

_

|[п ( С ^ 2

|0, / ) ] 2

т

1

(6.4.1)

Ф

( а о> С 0).

При вычислении Ф(а, С) воспользуемся формулой свертки

С1 + С,>= j

(6.4.2,

многомерных нормальных плотностей

п (х]ах, Сх) и п(х |а2,

С2).

Имеем

— Ф(а, С )— I п2(х|а,

C)dx +

п2(х |а,

С) dx —

■п

—2 I п(х\а,

С) п(х\а, C)dx.

Так как;«(х |(а, С )=.п(—х\ —а,

С), то из (6.4.2) при 2= 0 получим

Г/г2(х,| а, <C)dx= Гп (—х\ — а,

С)п(х\а, С) = п(0|0, 2С),

Jn(x|a,

C) n(x\a,i C)dx= j*, « ( —xj —a, C)n(x\a, Cj dx=

Итак,

= n(0.|a—<a,

C + C ).

—

Ф(а, С)=«(01,0, 2C)+.n (01 0,

2C)~

n

-2n(0\'a-:a,

C - f C).

(6.4.3)

В § 3 мы

условились обозначать малой

латинской

буквой

вектор,

компоненты которого—элементы, находящиеся

не ниже

ствующей прописной

буквой.

Так,

матрице С0

соответствует

вектор

с0. Как известно [1],векторы а0

и с0

независимы,

причем

вектор

£= (£15 ...,£& )= V п а0 имеет стандартное нормальное рас­

пределение при любом п, а предельное

распределение

вектора

)Лг (с0—с0) совпадает с распределением вектора

V

•••>

^?12> ••

имеющего нормальное распределение с

нулевым математическим

ожиданием и ковариациями

Е % ^ г = ®1> 5/г + 0/г§/г’

(6.4.4)

где 5(/.—символ Кронекера.

П р и . а = 0 , С = /

(6.4.3)

перепишем

в виде

Ф(а0, С0)=

п

w(c0)4- лХ (а0, С0).

(6.4.5)

2hтtfe/2

Здесь

\

.-М2

ay(w)=rl +

)f/|-;1/2_2

+

J «

U ) \

X(ae, C0) — • 2(1 -

exp {— Y

)

2 ^

4

- i ( / + C 0)

i £

где '£ /-*симметричная

матрица

:kyjt

и

Yn~X~

a'a (I +

C0) a0.

Имеем

1

i= i

1 exp {

Уп|_ j _J у (5)„

1

H Y (V-

1/2 (/ +

C0) 1

В этих соотношениях p lim

Y1^= 0,. t= 1 , . 3 , что следует

Л—»oo

из состоятельности оценок a0 и С0:

/? lim ао= 0 ,

р lim С0 = 1.

t l —* o o

Стало быть

R.

пХ

2 й+№;

(6.4.6)

1=1

льное распределение,

а

У<*> сходится

к нулю по вероятности,

не влияя тем самым на

предельное

распределение случайной

величины пХ(а0, С0).

Для

установления предельного распределения nw(cQ) исполь­

зуем теоремы

5.4. Обозначим

g(u) = \U\~112> v{u)— ~ (сй-{-и).

Тогда

dw

_ 2

*L

диц

диц

д°ц du{j

( dw\

-

2 I

-0,.

W u i j )4

J ca

1dVij )

v(c0)

так как

v(c0)= c0.

Далее,

d2w

d2g

__

______

du{jdun

диц диг1

dvti dvrl

duij дит1

d2w

1

d2g

\ ди^ д UfiJcq

2

\ди{1 durl j c0

Поскольку (2n)-kl2g(u) равно n(0|0,

U), то no

формуле об ­

ращения

(2n)-kl*g(u)= _ 1 _

j

exp

J ~

-1 t'Ut ]

dt.

Отсюда

d2g(“ )____________

Г i{tjtrt( exp ( — -i-

ctf

диц durl

:---

(2rc)ft/2:n)hl2 .

‘

'

d2g(u)

I c0= « £ 6 5 ^ 5 ! ,

где

дии диг1

1,

если

i~ j,

r= l,

к =

2,

если

i < / ,

г=1 или i— j, r<J,

Ho

. 4, если i<J, r<l.

E ZtZj

— ^ipri+

—

3,

если

£ =/=> г =/,

t = тФj —/,

или i= l¥*j= r,

= | 1,

если

i'=/¥=r = /,

или

О, в остальных случаях.

Следовательно,

3

(6.4.7)

16 S j * + is s % % + 16

% -

i—1

гi,/=1.

i,/=l

i<i

Согласно (6.4.4), tj—вектор с независимыми компонентами;

при

этом г]п , ...,r)hh имеют распределение N{0,

2), а остальные

ком­

Вместо % рассмотрим величину Уи

Уи

со стандартным нор-

V 2