Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

Из (1.3.18), (1.3.25), (1.3.26) следует

Нш u(e~sln) —exp { — (2 s)1/2(А — £,)} .

(1.3.27)

8 - 0

Покажем теперь, что п~хy(e“s/ra)

тоже имеет

определенный

предел при

п -*■оо , s

>

0.

В самом деле,

из

(1.3.23)

я-1 у /g-s/пч в

«

(e~s/n) P ( s - l - m ;

e~sln)

nWPm( s - m )

Нетрудно

видеть, что

s — I — m = Y n

{t%~

+ 0 ( V~n) -

Рассуждая так

же,

как при выводе (1.3.25),

получим

Нш Р (s -

I -

т; e~sln)=(2 s)-J/2exp { - (2 s)1/2(A -

#,)} . (1.3.28)

5 -0

Далее,

s _

m =

s2— s, — m2 +

mt =

V~n (t2 — /,) +

о (У~п ) .

Тогда, аналогично (1.3.24), согласно соотношению

m, — m,

=

.

л

lim — 2--------L

02 —

0 х

п—+оо

tl

и свойству закона Пуассона, получаем

Нш n1/2Рт (s — т )

= [2 те (02 — 0,)]-1/2ехр

П—о©

2(0 2 -6 ,) I '

(1.3.29)

Переходя теперь к пределу

при п -> со (5 ->

0)

в (1.3.23)

и

в силу

(1.3.27), (1.3.28)

и (1.3.29), получим

exp {— [2s (X—/])2]1/2} (2 s)~1/2ехр{—[2s (Л—/2)2]}1/2

Нш гг1y (w) =

Л—СО

2 тс(в2— 0j)-1/2 exp

2 ( 0 3 - 0 0

exp { — ( 2 s)1/2[2 X —

— t2] } exp j - A z A _ j

(2 s)1/2 [2л (02 -

Oj)]-1/2

=

=

®

" ( в з - в О ^ е х р { - ( 2s)»/* [2 Х - / г-^ ]} е х р

( * 2 - * l F

j

2

( 6

, - 0 x )

J

(1.3.30)

Ввиду (1.3.25) правая часть (1.3.30) является преобразова­

нием

Лапласа функции

f

<f) = « P

(2 X - * ! - * , ) »

02 - 0Х Г 1'2 exp j

2 1

( 2(U 2 — 0j) J

l

Так как при наших предположениях

т2 — т х

02 - 91>

Нш

п

П—оо

Т ш

= 1

-

С

( I * ; я) = /(е2 -

0l) +

Sn =

s 2

=

exp

(f,

-

*l)2

(2 Х -

/ г -

/

2)2 + en ,

(1.3.31)

2 (02- 0!)

2(02 -

0x)

где еч равномерно

стремится

к нулю

относительно

t1 и /2*>,

лежащих в любом

конечном интервале.

Таким

образом, мы

нашли

асимптотическое выражение

для второго

сомножителя

общего

члена суммы (1.3.4).

Рп+ №\ е<2> ; * ) =

^

P „ ( s 1, s 2) +

0 < s1<sa<m 14 - (А

+

Рп (Sl> S2) [1 — f (02 — ®l) +

Sn] •

Но

2

pn (S1, s2) =

P { s2 ^

+

jx} =

0<s1<s2<m1 —|—(jt

= У ,

— - p - — - № [ i

s2=0

s 2 I ( п

5г) I

и

°2 = ^

Pn («1,

h) l1 --- / («2 --- 9l)

+ E«] =

0<Sl< £ + y

Sl(s2- Sl) l ( n - S 2)

X

[0<?>]S1 [0<?> -

0<?>]s^

[ l - 0 2 r s>[l-/(0a -9i)+ en] ,

Щ + [A< h <

m2 + P •

В силу неравенства Чебышева имеем

<4 = Р {s2<

+ р,} =

Р {s2— n 0<">

я [0<^ — 0 ^ ] + X У п

Е [s2— я б '")]2

я0^(1 -

0<Jfi

<

0<«) _ 0(?)

= 0

{я [0<?> - 0(^] - Х У п ]

-

Поэтому

у п

lim

<т, = 0 .

(1 .3 .3 2 )

е

х

р (

_

А

_

(

Д

^ _______i -

W

2 я К в 1 ( в , - 0 1) ( 1 - 0 г)

'

26,

2(8, —e j

2 ( 1—8,) /

X ( i +

s n ),

где

A tx = A t2 =

——

и

при

n->- oo

,

5n — 0

равномерно

Vn

относительно

и £2, лежащих в любом конечном интервале.

Рассуждая так же, как при обычном выводе формулы

Лапласа,

получим

о» =

1

X

2л V 0, ( 0, -

00 (1

-

02)

X

X

t\

_

(*, -

4 )2

X

j* d 4

\ exp | _

2( 1 — 0Я)

1

2 0х

2 (02- 0,)

exp _

( t . - i . Y

(2

dta+ o ( 1). (1.3.33)

2 (0 2 -0 0

2 (0 2 -0 0

Принимая во внимание (1.3.32),

(1.3.33), будем иметь

П т Рп+ [&<»>,

0<2Л>; X] =

1

X

0,(02 -

00 0

-

X

2 tzV

е8)

X

[

dt1

1

I

2 0г

2

(

02

-

О

2(1

- 0 0

К)

0

~оо

ехр

(* .-* 0 8

( 2 Х - 4 - ^ 0 21

d t2.

(1 .3 .3 4 )

2(02-0О

2 (0 а

-

00