Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

Скачать файл (7,41Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 85

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Далее, легко видеть, что условная вероятность									Р {Лд(р)\|Д. (р)}
есть вероятность	равенства				hr+1 -f■- •■+ h =			q — г, при усло
вии, что hr+1 +	* •• +			hm =	s — т1 +		sa — р — г = s — l — г.
Отсюда легко получим
V i A ^ l A M Y -				(s—1—г) !		/	q - r y ~ r f m - q y - 1-" _
V i A ^ l A M Y -				. . .	.	, r .		\m—r
		(q—r)\{s—l—q)\ \m—r /						\m—r
		_ Pq-r(Q)Pm-q(S-!-m)							(1.3.14)
				Pm-r (s—l—m)					(1.3.14)
				Pm-r (s—l—m)
Уравнения (1.3.9)			в	силу (1.3.13) и (1.3.14) преобразуются
в уравнения
Pq(l)Pm- g ( s - l - q )			- Q-						? = 1 >т.
Рт(s - m )		=	V	р {^ } Pg-^ Q)- Pf -~gf				--- ;	? = 1 >т.
Рт(s - m )			г=\			Р-т-А^
			г=\
Отсюда после сокращения на Pm„g(s—l—m)									получим
PS)				Я	р [V,]
PS)				у	р [V,]

r = I

(1.3.15)*

(1 .3 .16)-

(1.3.17)*

Эту систему линейных уравнений относительно неизвестных иг рассмотрим как га начальных уравнений бесконечной системы

(коэффициенты Рд_г(0) определяются для всех значений q и г;.

Такая система может быть решена с помощью производя щих функций.

Положим

							им4
						q=l
		Р([х;	со) =	п	2
_							<7=1
Тогда							ОО
							ОО
		Р(/;	(о)=п			2 ^		Р9(0<Л
Но, в силу уравнений (1.3.17),							?= 1
Но, в силу уравнений (1.3.17),
		я						я
и		f^Tl						г= 1
и							7
							7
	Р(/; ш) = п		^			^	“ г * ^		( 0	) >-' =
			9=1			Г=1
		ОО		ОО
= n		мго)г \			]	Pq_r(0) u>q-' == и(со) Р(0, ш).
		r= 1	q=r
Таким образом,
		Р(/;	со)= н(ш)Р(0,					со).			(1.3.18)
Из (1.3.18) определяется и(со), а уравнение (1.3.16) опреде
ляет Р {£/,}-
Заметим,		что согласно		(1.3.16)				все	ым	г = 1 ,	т, неотрица
тельны. Но так как т может							быть произвольно				большим, то
при любом	г,	иг ^ 0 . Тогда			из уравнений (1.3.17),						принимая во
внимание,	что Р „(0 )= 1 , следует
							t q qq+l				(1.3.19)
		0 < « , < / > , ( / ) =							'		(1.3.19)
							( 7 + 0 !		'
Нас интересует лишь сумма,					встречающаяся					в (1.3.8).

Положим

Поэтому
	Г („) =		У	т , «■ =			“ t \ pJ sJ 7 l -		т\ "> П'Ч . (1,3.23)
			Я= 1				Pm ( s	-	т)
			Я= 1
	Рассмотрим фиксированное < > 0 и положим о = ----- Пусть
									п
а таково, что			прй		п —>- со ,		qb = —	t ..
							п
	Далее положим
			о»	=	e~sl n =		e~6s ,
			Sj =		п 0!	+
			s2=		n % +		t2 V n ,
где tx		vi t2 — действительные числа и
			р=		X	n ,	X > 0 .
В	силу	неравенства
			s 2 ^		т 2 + р, = п вф + X У п
будем иметь			n 02+ t2 V п ^ . п 0(з> + X У п ,
т.	е.		n 02+ t2 V п ^ . п 0(з> + X У п ,
т.	е.
			n ( b 2- ^			) ^	V T ( X -	t2)
или			K T ( 02 - ^ K X - f 2 „
т.	е.		K T ( 02 - ^ K X - f 2 „
т.	е.
			l >		t 2 .

Аналог ично

X .

Заметим теперь, что

		В^силу известного свойства закона Пуассона, для q/n-+t
и	/ /	V п	X — tu		при	п —>- со	будем	иметь
л1/2 Pq (l) — п112— ^					^-> (2 я ^)-1/2ехр			(X -	д 2
								2 1
		Отсюда, согласно лемме 1.2 следует							(1.3.24)
		Отсюда, согласно лемме 1.2 следует
Шп /> (/.			-	Ita		С /-W ехр { _		< ^ 1 1	~ s t\ d t -
					О				’
		=	(2 s)-1/2ехр { -			(2 s)1/2(X - g		}	(1.3.25)
и при		I =	О, X	=
		limP(0,er'l») =				(2 s)-1/2 .			(1.3.26)
	Условие ( 1.2.2) леммы					1.2 для	у =	0 в этом	случае лег
ко	проверяется.			При о	0	интеграл

где / ( 0 определяется правой частью (1.3.23), существует. С другой стороны, применяя формулу Стирлинга, получим