Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

е & , *2) =

4 -

+

(*2 ~

^l)3

t\

+

01

t\( 88 -

9,)

+

t\6,

t%(\-

Q,) +

t\(93-

8X)

2 < A

0i (92 - 9 i)

(02— 0i) (1 — 02)

02- 6i

__

t\___________ 2 t1 t2

_______ t\(1 - 9X)

01

(02 — 01)

02

01

(02

0l) 0

02)

Сделаем теперь замену

переменных, полагая

,

^i —

zi

01 (1

02) *

Так как

U =

г21^02 (1 -

02) •

2? (1 -

6i) 02 .

А (I

-

9,)

62

2г ,г2~\f 0j 02( 1-

0Х) ( 1—0а)

02-

0!

02 -

02

02 - 01

3 0

-

е х) 0 2

А -

2 ^ г %

0i ( l ~ 0,) + z!

02

01

02(I

0,)

x___________ x

V » l ( l - 01> ^ 2(1- 02)

2 n V

*

^

^

exp

^------ 5-0 (2lr z2) |

dzt dz2

1- R 2

(1.3.36)

Применяя

известное

разложение

[ 14v

62]

для

интеграла

(1.3.36),

получим

X

X

1

V 8,(1 -0 0 / 8, (1- 0,)

1

exp

2 г. V 1 -

Я 2

I -------— 0(z „ z2) J. dz1dz2 =

_ ^

j :__ф <«)

6, ( i - е

ф(")

1к е 2(1 - % ) !

/1=0

n !

к

о

; '

‘

(1.3.37)

Преобразуем

теперь

многочлен в показателе

второго сла­

гаемого подынтегрального выражения (1.3.34).

Положим

2 X0,

ti ~

4"

т, г

тогда

t2 =

2 X (1 — 0'2) +

т2 ,

9 ^ Л ) ~ # - +

(2 \ - Л - ^

+

1 - 0 8

0,

02

-

01

*! 02

"И !

~

9))

2 -с. То

- f

4 X2 =

0 i(6 2 - 0 i )

'

(1

— в2)(0 , — в,)

1

&2 — 0,

= 01(^1* ^2»

•

Положим,

как и раньше,

Ti — гх "V01(1

9i) >

тогда

т2 =

z2V % ( 1 — в*) >

01(тх, т2; X) =

. f f f o A z 6Я

®2

01

. — 0,

■ 2^ z a| /e 1e2( i - e 1)(L -

у

-Ъ 4Х2 -

0, - 0!

(.1 _

9l) еа

+ 2-z^g

Si ( 1-

0,) + z\ + 4 X2 .

02

вх

0,(1 -

0i)

Следовательно,

2~(T^ i? 2) (Z" +

2 R zi

+ A) ~ 2.X2

=

- y 8

(zx, г2) -

2 X2 ,

где R -определяется из (1.3.35).

Таким образом, второе слагаемое

(1.3.34)

равно

X — 2X 6t X — 2Х(1 — 6а)

/ M i - У

/ 8, ( 1- 8J

exp { - 2 Х2] f

J _

Y

0(2i ,

Zz) \dz-2-

(1.3.38)

lim Р* [в<«», 0(«);

X] -

л—»°о

/ 0 1 ( 1 - У / 0 , ( 1 - 8,)

1

dzx

exp

~

0(zx, г2) | cfz2

2 я / 1 - t f 2

■—

oo

—

oo

X — 2 X 8t

X—

2 X (1 — 6„)

. / M

l

— 0!)

/0 д ( 1 - 0 , )

f

^

f e x p { _

l e

(Zl. 2!) } d 2! =

х

X

Ф^

;Ч = 2 Д фИ| (ж (1 -

Qj)

х ф (п)

X

2 X2}

х

— ехр { -

Urn

P J(Q ,6;.X).

г Ы

Н

- у l d x

п—°°

X — 21(1 —6)

/ е

(1 -

в)

ехр { — 2 X2}

С

Л у

V 2 T

J ехр

Если, наконец,

9Х =

1-

02 =

6.,

то

lim

Р* (0,

1 — в; X) =

Ф+(0; X) =

П—00

X

X

1

|/'в(1— в)

, / 6.(1 — в)

|

.d2x

^

ех,р |------ 1 - 8 (zltг2) Jd z2-

2.* У

.1 - Я 2

1 — 21

l — 2U

/ 0(1 — 0)

/

0(1 — 0)

2' ^ y Г - ~ У ' I

dZl

[ exp { — ^ 0 ^ 1! ^ )| dz2 , (1.3.39)

1т

ч

^ у -

г= 1

(1.3.40)'

где

— s — / — т = а У~п~

и а при достаточно большом

п больше некоторого а0> 0 ,.

если

t2> X, что и будем предполагать в дальнейшем.

В силу

erk kh+v

к

'\*+v

^ ( v ) =

<"

k + v

/

{к +

v)

У 2 % а 0 пгР

А-|-\

у

\ k-\">

v .

k + v

к + у /

<С exp { — v —

2 (Лг -|- у)

будем

иметь

агйп -

exp

(

—

I

----- =

V nPh(v) <

2A V n

F

2 тса0

'I

Поэтому, предполагая,

что k удовлетворяет неравенству

k ^ . A V

п ,

где

A

= sup an ,.

(1.3.41)

л> 1