Файл: Кондратьев, С. Л. Применение метода функционального моделирования для оценки помехоустойчивости систем связи.pdf

ния толерантности, при наличии минимума необходимых дли модельности свойств, не имеют качеств функциональной модельности.

Обладая необходимыми свойствами — рефлексивностью, сим­ метричностью и транзитивностью, отношение эквивалентности может служить основанием при разработке функциональных мо­ делей. В силу того, что отношение эквивалентности характери­ зуется только указанными требованиями, которые не очень жестко ограничивают выбор алгоритма перехода от оригинала к модели, оказывается необходимым искать особые преобразо­ вания в самом классе эквивалентных отношений. Широкое при­ менение при обоснованиях моделей имеет понятие изоморфизма, впервые сформулированного в теории групповых структур

системах, исходил именно из изоморфизма информации. В силу изоморфизма информация выступает как инвариант при пере­ ходе от объекта одной природы к объекту другой, благодаря чему эти объекты предстают в модельных отношениях.

Несмотря на правильность указанного утверждения, оно, од­ нако, слишком общее, чтобы быть конструктивным аппаратом при разработке функциональных моделей. Верно, например, что сообщение в системе связи, основанной на использовании раз­ личных методов кодирования и модуляции, одно и то же и, сле­ довательно, изоморфно. Но нас интересуют вопросы более конк­ ретные: как построить модель кодирования или модуляции и что общего в каждом указанном классе моделей. Это общее и яв­ ляется тем ядром, которое сохраняется при отображении опера­ ций кодирования или операций модуляции.

Следовательно, при разработке моделей необходимо опери­ ровать более конкретными свойствами, в том числе и свой­ ствами, присущими изоморфизму как отношению. При этом за критерий верности выбранных отношений нужно брать те физи­ ческие свойства, которыми моделируемый объект обладает. В § 1.2 были кратко рассмотрены эти свойства и определено, например, что важнейшими из них являются последовательность преобразований и их зеркальная обратимость. Кроме того, си­ стема связи по своей природе метрическая. Если взять за основу эти признаки, то выбор математической структуры группы ока­ зывается вполне возможным, хотя, конечно, и не единственным.

51

2. Существует такой элемент EeG («единица»), что

в группу, определены указанными условиями, и если они не вы­ полняются для некоторого элемента Z, то он не обладает необ­ ходимой общностью с другими, а поэтому Z е G.

Рассматривая свойства ФЭ канала связи, видим, что они как раз и обладают указанными качествами. Однако есть и другие свойства, которые заставляют выбирать специальные группы, на­ пример группы Ли [8], а из последних — группу подобных преоб­

именно группу (1.3.5). Ряд уравнений физики имеют в качестве инварианта группу Архимеда или группу Лоренца и т. д. Выбор группы (1.3.5), как показывают исследования, позволяет ее ис­ пользовать в большинстве задач по связи. Заметим, что не вся­ кое выражение вида: y=kxn, /e = const, является подобным пре­ образованием. Важно подчеркнуть, что выбирается именно груп­ повое преобразование, т. е. само понятие подобия основано на соблюдении указанных выше аксиом.

Может показаться, что сужение класса допустимых преобра­ зований необоснованно, т. е. является излишним. Но, как пока­ зано в ([1], гл. 4), при отображении случайных явлений даже преобразование подобия может искажать оригинал, в частности, может переводить измеримые множества в неизмеримые.

Покажем, что справедливо следующее:

Утверждение 3. Модель, построенная на основе подобных пре­ образований, всегда эквивалентна оригиналу. Но эквивалент­ ность не всегда обеспечивает подобие.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий понятие эквивалент­ ности и его связь с подобием. Пусть каждой букве алфавита xteX поставлена во взаимооднозначное соответствие кодовая комбинация а\п] (в кодере) и буква (но другая) yk на выходе канала. Так как число букв и кодовых комбинаций одно

32

и то же, а условия эквивалентности выполнены, to всё ?рй множества эквивалентны, хотя воспроизведение на выходе неверное.

Потребуем теперь, чтобы соблюдалась упорядоченность в вы­ ходном множестве, такая же, как и во входном, хотя бы по по­ рядку букв в алфавите. Мощность каждого множества не изме­ нилась, осталось и взаимооднозначное соответствие, но дрбавИ' лось соблюдение упорядоченности. По определению, такие мно­ жества являются подобными.

Следовательно, два или более подобных между собой упоря­ доченных множества и подавно эквивалентны между собой.

Смысловое содержание основано на упорядоченности, уста­ навливаемой законами языка. Соблюдение этих законов при передаче информации в символах кодов обеспечивает подобие, а не эквивалентность. Заметим, однако, что если между элемен­ тами множеств не соблюдается соответствие, то не будет и соот­ ношения эквивалентности, как его не может быть и в том случае, если искажения были введены сознательно.

В рассматриваемом примере были введены сознательно де­ терминированные искажения, которые не нарушают соотноше­ ния эквивалентности. Однако, если эти искажения будут случай­

этому здесь используем первичное определение изоморфизма групп. Правда, даже в математической литературе разные шко­ лы пользуются своим определением. Их всего два, и они разли­ чаются лишь наличием требования сохранения групповой(») операции. Изоморфизм .будет называться слабым (2-го рода), если сохранения групповой операции (* ) не требуется, и силь­ ным (1-го ррда), если тр,ебуется сохранение операции.

Можно показать, что справедливо:

Утверждение 4. Изоморфизм не всегда обеспечивает подобие. Подобные структуры всегда изоморфны.

При этом не всегда достаточно даже строгого изоморфизма. Более слабым отношением будет гомоморфизм, а более узким понятием изоморфизма является автоморфизм. Если, например, произвести преобразование всех элементов группы G с помощью одного и того же элемента а, т. е.

то имеем автоморфизм группы. Обратим внимание на это поня­ тие, так как оно понадобится при обосновании автомоделыноети. Теперь можем ввести строгое определение подобия, принадле­ жащее Я. С. Понтрягину [7].

который бы не только сохранял однозначность между соот­ ветствующими множествами, но и оставил изоморфными груп­ повые свойства оригинала.

Если связать это понятие с необходимостью отображения си­

в друга одновременной заменой и переменных и параметров.

Заметим, что в группу подобий входит прдгруппа гомотетий, которую можем назвать подобием 1-го рода (сильным), заклю­ чающаяся в том, что до-

/Толерантность пускается лишь введение '.Экй/баяентность масштаба (без поворота) iH тождественное преобра-

вых. Изложенные здесь вопросы являются обобщением класси­ ческой теории подобия, а математический аппарат последней положен в основу теории размерностей. Выше уже частично использовалась теория размерностей. Наша задача состоит те­ перь в более общем подходе к изложению вопросов подобия фи-

. зических явлений.

1.3.2. Подобие физических явлений

Методы теории подобия со времен Ньютона, впервые сформу­ лировавшего первую теорему подобия, успешно применяются в механике, теплотехнике, гидротехнике и гидродинамике и дру­ гих областях науки и практики.

Важнейшие-результаты теории подобия формулируются в на­ стоящее время в виде трех основных теорем, а также некоторых

24

дополнительных положений, определяющих методы и способы построения физических моделей. При этом используется следую­

Основные теоремы подобия формулируют необходимые и до­ статочные условия подобия модели и оригинала, а следователь^ но, лишь на другом языке, в других терминах, определяют вид преобразований, допустимых при моделировании.

Теорема 1. Бели явления подобны, то можно найти опреде­ ленные сочетания (комплексы) характеризующих их парамет­ ров, численные значения которых одинаковы. Эти сочетания (комплексы) щ называются критериями или инвариантами по­

ского процесса, записанное в определенной системе единиц, мо­ жет быть представлено в виде зависимости между критериями подобия, т. е. безразмерных соотношений, составленных из вхо­ дящих в уравнение параметров.

Из-за особой важности этой теоремы дадим более подробное ее пояснение. Пусть имеется некоторое уравнение, описывающее поведение системы, т. е. уравнение связи между параметрами процесса и элементами системы. Обозначая для удобства изло­ жения как параметры, так и переменные символами р, но с раз­ ными индексами, запишем уравнение в виде

Теорема утверждает, что вместо уравнений связи вида (1.3.7), число которых т, можно использовать зависимость между т—k критериями подобия я,- в виде

каждый из которых выражается через соответствующие пара­ метры:

Методы определения критериев подобия и, в частности, ма­ шинный алгоритм, будут приведены ниже. Здесь важно, что