Файл: Кондратьев, С. Л. Применение метода функционального моделирования для оценки помехоустойчивости систем связи.pdf

вместо уравнений связи между т физическими величинами мо­ жем перейти к т—k уравнениям, т. е. избавиться от определен­ ной избыточности описаний процессов.

Теорема 3. Необходимым и достаточным условием для созда­ ния подобия является пропорциональность сходственных пара­ метров, входящих в условия однозначности, и равенство крите­ риев подобия изучаемого явления.

Здесь под условиями однозначности (моновалентности) пони­ маются граничные и начальные условия с учетом взаимодействия объекта и внешней среды.

Равенство критериев подобия в оригинале и модели принято

(1-я теорема) или возможность их использования при рассмот­ рении подобных систем (2-я теорема), то третья теорема опре­ деляет необходимые и достаточные условия, при соблюдении ко­ торых модель будет подобна оригиналу.

Кроме основных теорем, важное значение для практики мо­ делирования имеют дополнительные положения, сформулирован­ ные В. А. Вениковым {10] и относящиеся к нелинейным, неодно­ родным и анизотропным элементам систем или к самим слож­ ным системам. Как основные теоремы, так и дополнительные положения являются теоретической основой построения физиче­ ских моделей детерминированных явлений.

Поэтому необходимо оценить, что же может дать использова­ ние этой теории применительно к моделированию на ЦВМ.

Заметим, что рассматриваемое в работе подобие хотя и использует классическую теорию, но не сводится к ней. Расши­ рение достигается подобным отображением других отношений, свойственных оригиналу, а также подобным преобразованием безразмерных величин [3].

диагнозирует матрицу, причем так, что диагональные элементы содержат некоторый множитель. Это позволяет несколько осла­ бить ограничения, накладываемые на отображение G0 (Л0 ), и упростить алгоритмы моделей.

Однако информация, даваемая классической теорией подо­ бия, всегда существенна при разработке моделирующих алго­ ритмов. Она содержится в физической трактовке ее основных утверждений.

36

Обратимся еще раз к И-теореме. Она утверждает, что вместо зависимости F между т размерными величинами можно исполь­ зовать зависимость между т—k безразмерными комплексами — критериями подобия. А это означает, что решение задач физики и, в частности, задач по связи можно основывать на использо­ вании безразмерных величин, для чего нужно найти новую функ­ циональную зависимость F между этими величинами. Следова­ тельно, (а мы подчеркиваем это обстоятельство, поскольку, как кажется, ему не придавалось достаточного значения), вместо физического моделирования можно воспользоваться математиче­ ским, которое и может быть 'реализовано на цифровых машинах.

Физический закон, с математической формой записи, выра­ жаемой через некоторые операции над размерными величинами, • не мог быть таковым, если ры не был инвариантным к преобра­ зованиям размерности величин. Но, как только что говорилось, этого нельзя добиться, если размерности будут различными. Од­ нородность размерностей членов уравнения, входящих в указан­ ное математическое выражение закона, позволяет избавиться от размерности, что и определяет правомерность моделирования на ЦВМ.

Таким образом, можно утверждать, что:

Любой функциональный элемент системы передачи информа-. ции может быть подобно отображен в цифровой форме, по­ скольку справедлив принцип размерной однородности физиче­ ских законов, определяющих его функционирование.

Приведенная формулировка условна постольку, поскольку имеютея возражения против универсальности правила Фурье о размерной однородности уравнений.

Однако в формулировке утверждения, основанного на П-тео- реме, имеется обстоятельство, которое требует рассмотрения.

не единственна, то. утверждение становится, вообще говоря, не­ справедливым. Гарантия справедливости утверждения заклю­ чена в полноте уравнения, описывающего процессы, происходя­ щие в ФЭ. Практически никогда не удается гарантировать эту полноту, следовательно, числовая модель, принципиально всегда менее близка к оригиналу, чем физическая, при одинаковой бли­ зости отображения имеющихся зависимостей. Кроме того, в со­ ответствии с 3-й теоремой очевидно, что если уравнение процесса задано, то методы моделирования не могут дать ничего принцип пиадьно нового по сравнению со строгим его аналитическим ре­ шением (если, конечно, его удастся получить), так как при по­ добных преобразованиях уравнение должно оставаться фор­ мально неизменным, а условия однозначности подобными.

37

которое должно выполняться при тех же значениях р,-, что и до преобразования. Так как коэффициенты с,- не зависят от пара­ метров pi, то одновременное выполнение обоих уравнений воз­ можно, если

т. е. если подобное преобразование параметров приводит к по­ добному преобразованию самой функции. Такие функции назы­ ваются гомогенными. При введении определенных ограничений на С{ можно использовать так называемые условно-гомогенные функции [1].

Итак, если описание процесса имеется, то на основании П-тео- ремы можем перейти от операторной формы записи к соотноше­ нию, основанному на функциональной зависимости между кри­ териями-комплексами, величины которых должны быть найдены.- Эти величины являются безразмерными, в силу чего они инва­ риантны к метрическим преобразованиям, т. е. к преобразова­ ниям значений первичных величин.

Определение самого вида функциональной связи между кри­ териями подобия выходит за возможности классической теории подобия и может быть найдено на основе привлечения физиче­ ских соображений или законов, свойственных моделируемой си­ стеме. Реализации этих возможностей будет посвящено специаль­ ное рассмотрение, в следующей главе лишь кратко коснемся этого вопроса.

Если модель обладает теми же критериями подобия, то она будет иметь те же, что и оригинал, частотные характеристики, которые могут рассматриваться как обобщенные критерии подо­ бия. С усложнением моделируемых явлений происходит последо­ вательный переход к более сложным критериям подобия.

При отображении динамических систем, состоящих из многих ФЭ, можно в качестве критериев использовать их нормирован­ ные передаточные функции или импульсные характеристики, а при построении моделей каналов связи в целом или многока­ нальных систем критериями подобия могут выступать вероят­ ность ошибки, скорость передачи информации, пропускная спо­ собность и др.

Следует, однако, иметь в виду, что все эти обобщенные кри­ терии обеспечивают необходимые, но не всегда достаточные условия подобия. В частности, использование АЧХ и ФЧХ не гарантирует соблюдение условий строгого подобия, поскольку

38

они получены на основе методики, исходящей из установивше­ гося состояния при воздействии гармоническим колебанием.

Показано ([3], гл. 4), что для достижения подобия как спек­ тральных, так и (отдельно) информационных (энтропийных) критериев подобия недостаточно и что их необходимо использо­ вать совместно. Подобие случайных процессов достигается ис­ пользованием многомерных функций распределения wn(x). При этом использование конечных значений п может обеспечить по­ добие лишь в отдельных частных случаях.

Таким образом, порождаемые критерии (инварианты) подо­ бия, оставаясь всегда безразмерными комплексами "или сим­ плексами, могут быть по своей природе весьма сложными по мере усложнения объекта исследования. Переход к обобщенным' критериям всегда связан с потерей некоторых свойств оригинала, а поэтому возможен только в случае, допускаемом решением за­ дачи. Если необходимо получить строгое решение, то следует пользоваться строгими критериями подобия, порождаемыми уравнениями процесса. Таким образом, если обоснованно пред­ положение, что начальные условия .являются нулевыми, то в ка­ честве обобщенных критериев можно использовать импульсные характеристики и только при рассмотрении стационарных про^ цессов и систем целесообразно пользоваться передаточными ха­ рактеристиками.

Сформулируем и кратко поясним основные положения теории

Это означает, что «смешивание» преобразований в общем случае недопустимо. Например, нельзя использовать в одной и той же модели преобразования Фурье и Лапласа, или 2-преоб- разования и преобразования Фурье и т. п.

Если на систему воздействуют одновременно несколько ад­ дитивных или мультипликативных процессов, то:

Утверждение 6. Сумма или произведение любого числа воз: действий на оригинал, подобно преобразуемым в модели еди­ ным оператором G, всегда заменимы единым подобным воздей­

образований, осуществляемых над подобными процессами в ори­ гинале и модели, дает подобный результат.

Следовательно, если над входным' воздействием осуществ­ ляется в оригинале ряд преобразований, а им в алгоритме мо­ дели соответствуют подобные -преобразования, то результаты обработки в обоих случаях будут подобными.

39