Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

С Л У Ч А Й Н Ы Е Р Я Д Ы В Б А Н А Х О В О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е

25

то wn являются частными суммами ряда (5). Если

эти

ограничен,

а точную

верхнюю

грань

частных

сумм на­

зываем

границей

ряда (5).

Методы суммирования используются при изучении

рядов Фурье. В

методе Чезаро

задается матрица

sup(0,

а

в методе

Пуассона — матрица

an,n =

r'Z

(°<rn<l>

l i m r B = l ) .

Другие

методы

суммирования

используются

в связи

с

рядами

Тейлора

(упр. 12).

Такие

методы

исполь­

ченность

не имеют

места.

Для случайных рядов независимых симметрических

векторов

ситуация

иная. Именно, со-множество, где

ряд (1) S-суммируем, определяется

соотношениями

lim

р '

=

0

(л = 1 , 2 ,

. . . )

р,

р ' - » 0 О т=р

lim

lim

2 {апт

— ап-, т)

Хт

=

0,

п, п'->оо р - » о о || т = 1

|

а со-множество, где

ряд (1) лишь S-ограничен, опреде­

ляется соотношениями

lim

S аптХт

=

0

( л = 1 ,

2,

. . . ) ,

р,

р' -» со

т=р

lim

lim

2 Qnm.Xn <

О О .

rt->oo

р - >оо

/ . = 1

Т е о р е м а

1.

Пусть

Хи Х2,

Хп,

в

...—незави­

симые

симметрические

случайные

векторы

банаховом

пространстве

В,

a

S — матрица

суммирования.

Тогда

оо

если

ряд 2i

Хп

п. н.

S-суммируем,

то

он

п. н.

схо-

дится. Если

же

он

п. н.

S-ограничен, то он

п. н.

огра­

ничен.

Т е о р е м а

2.

Пусть

Хи

Х2, ....

Хп,

. . . —

независи­

мые

случайные

векторы

в

В,

a S — матрица

суммиро-

00

вания.

Тогда,

если

ряд

2

Хп

п. н. S-суммируем,

то су-

i

ществует

такая последовательность

векторов

хп

в

В, что

оо

оо

ряд

2

(Хп

— хп)

п. н.

сходится').

Если

же

ряд

2

Хп

1

то

существует

такая

1

п. н. S-ограничен,

последователь-

ность хп,

что ряд

оо

{Хп

— Хп) п. н.

ограничен.

2

1

Теорема 2 легко выводится из теоремы 1

с

по­

мощью

симметризации.

В

самом

деле,

предположим,

оо

что

ряд

21 Хп

п. н.

S-суммируем

и рассмотрим

слу-

чайный

ряд

2i

(*«(п)

- * „ ( * ' ) ) ,

(7)

заданный

на поле Q X й. Он

п. н. S-суммируем,

а

его

тором. Поэтому,

согласно теореме

1, ряд (7) п. н. схо­

дится

в

Иными

словами,

для

почти

каждого

значения

со' ряд

(7) сходится

для

почти

всех

а. Выби­

рая такое

а/ и полагая

хп =

Х(®'),

получаем

требуемое

')

Иначе говоря, это означает, что ряд

2 Хп

существенно схо-

днтся

п. ш, —Прим. ред.

С Л У Ч А Й Н Ы Е Р Я Д Ы В Б А Н А Х О В О М П Р О С Т Р А Н С Т В Е

2 7

Для

доказательства теоремы

1 нам

понадобятся

две

леммы,

которые

имеют

и

самостоятельный

интерес.

Пусть

Хи

Х2,

Хп,

... — независимые

симметриче­

ские

случайные

векторы

в

пространстве В.

Положим

т

K»(<0)=S^n(«>)

1

0 0

и обозначим через

У (со) сумму ряда

^Е>Хп(<х>), если

он

4

I

сходится. Наконец,

положим

M(co) =

sup||

Гт (со)||.

т

оо

Л е м м а

1. Пусть ряд

2

Хп

сходится п. н. Тогда

для

всякого

г >

О имеем

1

Р ( М ( с о ) > г ) < 2 Р ( | | 7 ( с о ) | | > г ) .

(8)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Q0 — множество

всех

тех со, для

которых

Y (со) определено. Обозначим через

А

и В

подмножества

из

й0 , где

М (со) > г

и

|| У (со) || >

г

2 8

ГЛАВА II

А{:

|| У, || > г,

А2: || У, || < г, | | У 2 | | > г ,

А3: | | У , | | < г , | | У 2 | | < г , || У3II > г,

:

(9)

А»: ||У.11<г,

| | У т _ , | | < г ,

| | У т | | > г ,

Если со е= Ат,

то по крайней мере

один

из

векторов

Y = Ym(e>) + (Xm+l(e>)

+ . . . ) ,

y = y m (co) - (J m + 1 (co) + . . . )

(

Ш )

лежит вне шара ||д:||^г .

Так

как векторы

Хп

симмет­

рические, то У и У с

одинаковой

вероятностью могут

находиться вне круга.

Иными

словами,

подмножество

из

Ат,

где

|| У || > г,

и

подмножество,

где

\\Y'\\>r,

имеют одинаковую меру. Так как их объединение есть

Ат,

то

их общая

мера не меньше у Р ( Л ш ) .

Другими

сло­

вами,

P(Bf)Am)>±P(Am).

(П)

Записывая

неравенства (11) для всех т и складывая,*

мы получим (8), ибо, согласно предположению, P(Q0 ) = 1.

Это неравенство принадлежит П. Леви.

Для

доказательства

второй

леммы

введем

еще не­

которые

обозначения.

Положим

М л ( ю ) =

sup || Уд а (со) Н,

т е Л

Л е м м а

2. Для всякого г > О и всякого

множества

целых чисел

А имеем

Р ( М > г ) < 2 Р ( М л > г ) .

(12)