Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

192

ГЛАВА XI

Для действительной гауссовской величины

X,

подоб­

ной

Я|,, имеем

#(e2n*«dr) =

e-*IM>B»f

(17)

а для комплексной гауссовской величины

Z , подоб­

ной

Х£и

имеем

g> te2nl

Re <«,£)) =

g-я | X |» I oi \\

(18)

Равенства

(17) и

(18)

определяют

величины

X и Z

с точностью до подобия; число

| Я |

называют

типом X

или

Z и записывают

| Я | = т(Х) или \X\ = x{Z).

Отме­

тим,

что величины

Z и elaZ

подобны при всяком дей­

ствительном

а.

X

Если

величина

подобна

линейной

комбинации

<*ili + ••• + а „ | „ ,

то

из (15)

следует

# ( e 2 * / « * ) = e - * ( e i + • • • + « « )

(19)

Поэтому

X — действительная

гауссовская

случайная

величина

и т(Х) =

( а 2 +

. . . +

о2 )1 '2 . Аналогично,

если

величина

Z подобна с,£, + . . .

+

ср £ р , то Z — комплек­

сная

гауссовская

величина

и

T ( Z ) =

( |С| | 2 + . . .

. . . + к „ | 2 ) " 2 .

Если

Х = (ХХ

Хп) — гауссовская величина

в R",

а и = («,,

...,

ип) е= R", то (обозначая через 'А

матрицу,

транспонированную

к А) имеем

<Г (е™и-х)

= 8 (e^iu-Ai)

=

g (еы'ли.?)

= е - л |' Аи \г _

Следовательно,

g (etein-A)=

е-яц,- и („в

. . .f „„)),

(20)

где ip* (и) —- положительно полуопределенная

квадратич­

ная

форма. Обратно,

пусть справедливо равенство (20).

В частности,

если

чр* (и) =

х2хи\

+

. . . + т 2 « 2 ,

то

вели­

чина

X

подобна

( Т [ | 1 ( . . . ,

т„£„);

другими

словами,

Xj — независимые

гауссовские

величины,

т (А/) = т/.

194

ГЛАВА XI

и только

тогда,

когда всякая

их

линейная

комбинация

является

гауссовской.

Из (23)

имеем

(и) =

2

$ (Xf)

и/ + 2

2

S

(XiX,)

щи,.

(24)

В комплексном

случае

W

И

= 2

8 (1Z,

Р) | о», Р +

2

<Г ( В Д

(25)

личины (действительные

или комплексные), то

они не­

зависимы

тогда и только

тогда,

когда они ортогональны

в L2 (Q).

Кроме

того, тип действительной гауссовской

величины

есть

не что

иное,

как ее норма

в L2 (Q),

ности l / l / 2 .

Гауссовское

гильбертово

пространство (действитель­

ное или

комплексное) — это

замкнутое подпространство

в L2(Q)

(действительное или комплексное),

состоящее

из гауссовских

величин. Например, если Q =

Rg или С™,

ждает

гауссовское

гильбертово

пространство, состоя-

0 0

оо

щее из

элементов

2 #n£n>

2 « л

< 0 0 или элементов

1

1

2

с„£„,

2 l c n l 2 < ° ° - Э

т и ряды

сходятся

в L2 (Q),

а

1

1

наверное

(теорема 2,

гл. I I I ,

также

сходятся почти

4.

Еще несколько

формул

Рассмотрим

действительное гауссовское гильбертово

пространство

Ж

и пусть

Х^Зв,

Г е ^ ;

положим

a = g{X2), а' =

Ш{Х'г),

Ь =

8(ХХ').

Далее,

пусть н е ­

ограниченная

измеримая

функция

на прямой.

П р е д л о ж е н и е

1. При указанных

предположениях

имеем

Ш(X(X))

е - ( я / а )

* dx,

(26)

% (X (X) % (X')) =

л-

f

f

X (х) % (х')

<*• *') dx

dx',

у аа' — Ьг

•>•>

где

(27)

Jfr, x')=a'x2\f_-?bXX'

•

(28)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Используя (22)

и (23), имеем

&(e2niuX)

=

e-™u\

Обозначая распределение

X

через

цх,

а

распределение

(X,

X') — через

\ах

х,,

эти

равенства

можно

записать

в

виде

J" e2niuxiix

(dx)

= е - я а " г ,

Используя равенство

(13),

получаем

ц

(d*) = — L

e -Wa) х* dx,

V a

b2

P J f - x v

К ao' -

i

где яр (я, «О определяется

равенством (28). Тем самым

равенства (26) и

(27) доказаны.

Пусть теперь

Зв — комплексное

гауссовское

гильбер­

тово пространство,.

2

е Д

Z'jz36,

а =

(1/2) g (\Z

|2 ),

a'

= ( l / 2 ) ^ ( | Z ' | 2 ) ,

6 =

(1/2) g(ZZ'),

а х

-

ограниченная

измеримая функция на плоскости

С.

П р е д л о ж е н и е

2.

При

указанных

предположе­

ниях

имеем

8 (х (Z)) —

j

J

* СЮ е - (

я /

а )

1 z

da

(2),

(29)

#4X(Z)X(Z'))

=

=

J x (2 )

*

(

2

' ) е

- л ф (

г

'

d

o ( 2 )

rfcr

( 2 ' ) '

(3 °)

где

• ( 2 , , o - ° ' " |

,

+ ; ^ ' i 7 | , 2 R " f e ,

) .

о о

Д о к а з а т е л ь с т в о

почти

аналогично

предыду­

щему и о.сновано на использовании равенства

(14)

вместо (13).

В качестве приложения равенства (29) отметим, что

если

Z — нормальная

случайная

величина

(а=1),

то

г

Р ( | z

| < г) =

|

е - я р , 2 я р d p

=

1 — е~™\

(32)

о

П р е д л о ж е н и е

3.

Пусть дана

положительная

по­

следовательность

Г|,

г„,

. . . . Далее,

пусть Z,, . . .

...,

Z„, ...

— комплексная

нормальная

последователь­

на

ность.

Тогда,

если

2

Г\

<

0 0 >

г о

lim (| Zn

|/г„) =

оо п. н.

оо

1

П->оо

9

£с/ш

2 е _ л г

,

1 < о о ,

го

lim ( |

Z„

| / r „ X 1

п.

н.

В

част-

I

Л-> оо

ности, Zn =

o{V\ogn)

п.

н.

б. Обобщение

леммы

Бореля — Кантелли

Рассмотрим

последовательность

событий

А

И ....

А П , . . .

и найдем

достаточное

условие для равен­

ства Р ( Н т Л / ) = 1 .

Пусть

вероятностное

пространство

имеет

вид

произведения

Qj X

•-• X

X

и

пусть