Файл: Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды.pdf

Если

Н т а ^

=

0

для

каждого

ц,

то

п.

н.

имеем

V-» оо

А/

Р ( Н т Л у ) = 1 .

Простейшим

является

случай,

когда

зависит лишь от с©/; тогда мы получаем

лемму

Бореля—

Кантелли. Пусть теперь А/ зависит

лишь

от

0(,

©/,

и пусть

Р ( /

1А,(Щ

<й,)ё®,>

pj)>q,

(33)

для / = 1 , 2 , . . . .

Неравенство (33) означает,

что вероят­

ность наступления события А,-,

когда

а>у_,

фиксированы, превосходит р} на

(со,

соу_,)-множе-

стве,

которое

имеет

вероятность

большую,

чем

<?у.

Тогда

имеем

V

a u . v =

и ,

х

\

_ ,

/ Ц ( 1

_

Ч ^ 1

x n v

av

ц+i

Xrfcovfltcu, . . .

dcov_, <

1 — <7V +

q4(l

— pv )

v _ i -

Легко

найти

условия

на

последовательности

pt

и

qh

из которых следует

соотношение

lim ад , v

=

0.

Напри-

l_irn pj

>

а >

О и lim q-t =

V-> оо

мер, если

1,

то

при

достаточно

/ - > о о

/ - > о о

больших

v,

зависящих

от

г) >

0,

имеем

a M , , v ^ r l

+

+ (1 — а) #ц, v-i-

Отсюда следует,

что

lim au , v

<^r\la\

но

V>oo

так как

т) произвольно

мало,

то

lima^, v

=

0.

V-» оо

сформулируем

Имея в виду дальнейшие приложения,

установленный'

результат.

П р е д л о ж е н и е

4.

Пусть

событие Aj зависит

лишь

от a>i

©у, и пусть

неравенство

(33)

выполняется

для

/ = 1 ,

2, . . . .

Тогда

если П т р у > 0

и

Пт<7у=1,

то

/ - » о р

/ - > о о

198

ГЛАВА XI

Пусть

Хи

Хп . . . — действительная

нормальная

последовательность,

a

Zn,

...—комплексная

нормальная

последовательность.

Рассмотрим

частные

оо

оо

суммы

рядов

2 апХп

и

2

o.nZn

при условии, что

оо

1

I

2 а „ = с о

( я „ ^ 0 ) ; мы знаем,

что они п. н. расходятся

(теорема

4

гл. I I I , стр. 50).

Будем

говорить,

что ряд

оо

оо

CLnZn

сильно

существенно

расходится,

2 йпХп

или 2

1

I

Sn

если

частные

суммы

п. н. всюду

плотны

(на дей­

ствительной

прямой

или на

комплексной плоскости

соответственно); если

же

l i m | 5 „ | —со

п. н., то будем

оо

оо

говорить,

что ряд 2

апХп

или

2

anZn

неограниченно

расходится ')•

л

Т е о р е м а .

Положим

tn =

2

Ят-

I

оо

0 0

0 / V^n) < 0

a)

Если

2

0

. го ряб

2

а Д п неограни-

1

1

ченно

расходится.

оо

оо

b)

£c/zu

2 l # r t < c ° .

го ряд

^anZn

неограниченно

расходится.

со

c)

£ слы

a „ + i > a „

( п = 1 , 2,

. . . )

u

2

( l / V X ) = ° ° .

со

то ряд

21 Ол^п сильно

существенно

расходится.

d)

Если а п + 1 ^ а п ( п = 1 ,

2,

. . . ) и

2 ( 1 / ^ ) = ° ° ,

то

со

1

0„Z„ сильно

существенно

расходится.

ряд 2

1

Д о к а з а т е л ь с т в о

у т в е р ж д е н и я

а).

Пусть

G — ограниченный

интервал,

а % — характеристическая

функция G. Из формулы

(26) (см. стр. 195) имеем

# ( x ( S B ) ) = P ( S „ = G ) < - ^ = = - .

V&(s2n)

Так как &{S2n)==tn,

то

утверждение

а)

вытекает

из

леммы

Бореля — Кантелли.

Д о к а з а т е л ь с т в о

у т в е р ж д е н и я

Ь)

анало­

использовать

формулу (29).

Д о к а з а т е л ь с т в о

у т в е р ж д е н и я

с)

проведем

в два этапа.

На

первом

этапе

воспользуемся

предло­

жением

1, а

на

втором — предложением

4.

Первый

этап.

Пусть

заданы

е и р ,

0 < е <

р .

Для

любого

а,

заключенного

между — ( р — е)

и р — е,

обо­

значим

через

% характеристическую

функцию

сегмента

[а — е, а -f- е]

и

положим

ц =

N

%(•$„). В

предположе­

2

ниях п. с)

мы докажем,

что

н а

0) >

1/10,

если N

Р (ц. >

одна

из

сумм

Sn

(1 ^n^.N)

с

вероятностью,

превос­

ходящей

1/10,

расположена

на интервале (а — е, a - f е).

Для этой цели воспользуемся неравенством

I I (см.

стр.

19). Нам

надо

оценить

8{\i)

и 8(ц2):

<ГМ = = 2 #(Х(5„)) ,

(34)

1

№

)

=

2 2

ar(x(sn )x(sm )).

(35)