ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 131
Скачиваний: 0
188 |
ГЛАВА XI |
в несколько иной форме. Положим х + iy = z, u+/u =-= w,
f(*) = f ( * . ) , f W = f ( « , » ) H J" . . . |
d * d y - J . . . rfa(*) |
RJ С
(С означает множество комплексных чисел). Тогда
f (да) = J е2я« Re {wi)f (г ) d a (z)_ |
(3) |
с |
|
Это преобразование называется одномерным комплекс
ным |
преобразованием Фурье. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если |
п = 2р, |
то |
мы |
можем |
записать |
формулу (2) |
|||||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(да) = |
J* е2 я < R e <••»/ (2) da (z). |
|
|
(4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
с" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь г, = |
+ |
«с2 |
г р |
= |
х2 р _, + |
«г2 р , да, = |
ы,+ iu^, ... |
||||||||
. . . , дар = |
|
ы2 р _, - f ш 2 р , / ( Z ) = |
/ ( 2 „ . . . . |
2p ) = |
f(jc„ |
*„), |
|||||||||
f (да) = f (да,, . . . , |
дар) |
== f (u„ |
. . . , u„), да |
• 2 = |
да,2, |
+ . . . |
|||||||||
. . . + |
дар2р |
и |
J |
. . . da (г) |
= |
J" . . . |
j " . . . |
dx, . . . |
dxn. |
Фор- |
|||||
мула |
(4) |
|
cp |
|
|
|
R" |
|
|
|
преобразование |
||||
|
задает |
р-мерное комплексное |
|||||||||||||
Фурье. |
|
функция f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если |
|
суммируема, |
то |
формулы |
(1), (2), |
||||||||||
(3) и |
(4) |
могут быть обращены. Например, из фор |
|||||||||||||
мулы |
(2) |
|
следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f(x)= |
| e-2ntu-xf |
( a ) ди п |
о |
ч т и |
всюду, |
|
(б) |
||||||
|
|
|
|
R" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а из |
(4) |
следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f(z) |
|
= |
j " e-MiRtto-i)f |
|
(w)da(w) |
|
почти |
всюду. (6) |
||||||
|
|
|
с" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это формулы обращения Фурье.
Если f, и f2 — преобразования Фурье функций /, и f2 в смысле формулы (2), причем f, и f2 принадлежат
ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ 189
L2{R |
), |
то |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
f I (") h (") du = |
J |
f, (*) / 2 (*) |
rf*. |
(7) |
|
|
|
R" |
|
R" |
|
|
|
Если |
fi |
и f2 |
— преобразования |
Фурье в |
смысле |
фор |
||
мулы |
(4), |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
f, (w) U (») rfc (») = |
/ |
/. (z) h (*) do (г). |
(8) |
||
|
|
с" |
|
|
с" |
|
|
|
Равенства |
(7) |
и (8) называются формулами Парсеваля. |
||||||
В частности, |
/Лнормы функций / и f совпадают. |
|
||||||
В |
частном |
случае f (х) = |
е~пх' |
имеем |
|
|
||
Аналогично, |
полагая |
| х f = |
х2 -\- ... |
+ х\ |
при |
х |
— |
|||
= |
(х |
хя) |
и \z\2 |
= \zi |2 |
+ . . . |
+ | г р | 2 |
при |
г |
= |
|
= |
(zI f |
. . ., гр ), |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е - я | « | ' = |
| e 2 ^ a . x e - n U | ' r f A . j |
|
|
( 1 0 ) |
||||
|
|
|
|
RN |
• |
|
|
|
|
|
|
|
е - я | ш 1 ' = |
| |
в в я * 1 1 е < ш . * ) в - я | * Р Ж у ( г ) | |
|
|
(Ц) |
|||
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
С"
В этих случаях формулы (5) и (6) очевидны. Обобщим формулы (10) и (12). Пусть
|
п |
п |
|
•ф (•*) = 'Ф (х |
, хп) = 2 |
2 auXiX] |
(atl = ап) |
ii=i i=i
—положительно определенная квадратичная форма.
Пусть {Ьц) — матрица,, обратная к (ац), и
п п
•ф* (w) = тр* («, |
и „ ) = 2 |
2 М * " / - |
190 |
|
|
ГЛАВА XI |
|
|
|
||
Тогда |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
J, |
|
У^Ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Vdet(bt]) |
в-я*мю. (13) |
||
Мы |
только наметим доказательство |
равенства (13). |
||||||
В |
случае |
когда |
(а,/).— диагональная |
матрица, оно |
||||
является простым |
следствием |
равенства |
(9). В общем |
|||||
случае |
существует |
ортогональная |
матрица С, |
такая, |
||||
что матрица |
СЛС~' = £> |
диагональна. При очевидных |
||||||
обозначениях |
имеем трл |
(х) = |
ipD (Сх), ip*, (и) = |
грд (Си), |
||||
и • х = Си • Сх, dx = d(Cx). |
Отсюда |
следует (13). |
||||||
Пусть теперь (аг / ) (f = |
1, 2, ... ,/?;•/ = 1, 2 |
р) — |
||||||
положительно определенная эрмитова матрица положи
тельного типа, a [bij) — обратная |
матрица; рассмотрим |
||||||||
эрмитовы |
формы |
|
|
|
Р |
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
i p ( 2 ) = ' i f ( z 1 |
|
zp )=2 |
|
Ъацгё/, |
|
||
|
|
|
|
|
|
[=1 |
/=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
р |
|
|
|
гр'(ш) = г|)*(ву„ |
|
а>р)=2 |
2 buWiW,. |
|
||||
Тогда |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
J.e-я* (г)е2п< Re (t».S) ^ а ( г ) = |
'в |
е - я * ' ( ш ) = |
|
||||||
|
|
|
|
= det(6,/)e-«»:w. |
(14) |
||||
Равенство |
(14) легко |
следует |
из (11), |
если (я*/) — диа |
|||||
гональная |
матрица, а в общем |
случае оно доказывается |
|||||||
с помощью-унитарной |
матрицы . '" |
|
|
|
|||||
|
|
3. Гауссовские |
случайные |
величины |
|
||||
Всюду |
в этой книге мы рассматриваем только сим |
||||||||
метрические гауссовские |
случайные |
величины и назы-. |
|||||||
ваем их просто гауссовскими |
величинами. |
|
|||||||
Здесь удобно изменить наше стандартное вероятно |
|||||||||
стное |
пространство. |
Вместо |
сегмента |
[0, 1] с |
мерой |
||||
Лебега |
рассмотрим всю числовую ось R с мерой |
e~nx'dx. |
|||||||
ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ГАУССОВСКИЕ РЯДЫ (91
Обозначим это пространство через R^, а счетное произведе ние таких пространств Rg° возьмем в качестве нашего стандартного пространства. Так как пространства RgXRg
можно |
записать |
как CG (комплексная |
плоскость с ме |
|||||
рой e~n\z\%da(z)), |
нашим |
стандартным |
пространством |
|||||
будет также Cg. |
|
|
|
|
||||
Точка в Rg обозначается |
через £ = (£i, £2, • • |
tn> • • •), |
||||||
а в С™ — через |
£ = (£i> £2, |
£n , • • • ) • Последователь |
||||||
ность |
| 1 э | 2 ) |
• • • мы называем стандартной |
действитель |
|||||
ной |
нормальной |
последовательностью, |
а |
£ь |
£2, ... — |
|||
стандартной |
комплексной |
нормальной |
|
последователь |
||||
ностью. |
Иногда |
без дальнейших пояснений |
мы рассма |
|||||
триваем |
стандартные нормальные последовательности, |
|||||||
записанные в форме |
| 0 , | ь . . . или £_„ |
£„, £„ ... . |
||||||
Последовательность случайных величин называется нор
мальной |
(действительной или комплексной), |
если она |
|||||||
подобна |
стандартной |
нормальной |
последовательности |
||||||
(действительной или комплексной). |
Действительная или |
||||||||
комплексная случайная |
величина |
называется |
нормаль |
||||||
ной, если она подобна |
или |
|
|
|
|
||||
Мы будем использовать структуру линейных про |
|||||||||
странств |
Rg° и Cg. Действительная или комплексная |
||||||||
случайная |
величина называется |
гауссовской, |
если она |
||||||
подобна |
Я|[ (Я |
действительно) |
или Я£, (Я комплексно). |
||||||
Случайная |
величина в R" или Ср |
называется |
гауссов |
||||||
ской, если |
она подобна |
Л | или Л£ соответственно, где |
|||||||
А — линейное |
отображение |
Rg в R" или С~ в С |
соот |
||||||
ветственно. Мы проверим, |
что эти определения |
сов |
|||||||
местны; |
это значит, что гауссовская величина |
в R1 |
|||||||
или С есть не что иное, как действительная |
или ком |
||||||||
плексная |
гауссовская величина. |
|
|
|
|||||
Равенства |
(9) — ( 1 2 ) могут |
быть записаны следую |
|||||||
щим образом: |
8 |
(е2^иЦ |
е,—пи?. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15) |
|
|
|
|f (е2лг Re (тЩ |
|
|
|
|
||
1 ' + - + 1 » Р Г ) . (16)