Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf

следовательно, неравенство (2.17) справедливо. Таким образом, сочетание метода кодирования с методом упаковки дает то преиму­ щество, что в ячейку можно записать хотя бы два кодовых числа.

Для объяснения сути комбинированного метода приведем конк­ ретный пример. Проанализируем вариационный ряд предыдущего примера с точки зрения применения комбинированного метода.

Перепишем вариационный ряд: 120, 116, ПО, 112, 160, ПО, ...

.., 115 (я = 5000). Дано

max [хъ х2, . . . , хп) = 160,

min {xlt х2, . . . , ха) = 110,

N = max [хи х2, ... , хп) — min {хи х2, ... , хп) = 501о = 628.

Присвоим код каждому члену ряда диапазона по восьмеричной системе счисления, начиная от 018 до 638. Итак, kg = £код = 2.

На ЭЦВМ типа «Минск-22» для данного ряда определим количе­ ство ячеек по формуле (2.6):

Следовательно, вместо 5000 используется всего лишь 842 ячейки. Если при вводе использовать только кодирование, то, как следует из формулы (2.15), будет использовано

5000

N. = 885

37

4 ■3

m i n

ячеек.

Для метода упаковки это количество вычисляется по формуле

(2. 12):

3.Алгоритмы поиска законов распределения

ипараметров вариационной статистики

Алгоритм поиска законов распределения для случайных величин. При исследовании различных физических, технических, биологи­ ческих и медицинских задач сталкиваются со случайными явления­ ми — случайными вариациями. Эти вариации всегда связаны с наличием каких-либо вероятностных факторов, влияющих на исход наблюдения.

50

Особенно сильно проявляются случайности в различных меди­ цинских исследованиях. Изучение факта случайности в медицин­ ских исследованиях с помощью математического моделирования на базе математического аппарата случайных процессов является весь­ ма перспективным и многообещающим. Математическое моделирова­ ние, описывающее случайные процессы, дает возможность опреде­ лить все основные численные характеристики сложных медико-био­ логических процессов [13].

На практике приходится оперировать с ограниченным количе­ ством экспериментальных данных. Следовательно, к методам обоб­ щения результатов эксперимента следует предъявлять требования, которые могли бы выявить характерные черты наблюдаемого явле­ ния, а все несущественные элементы, связанные со случайными от­ клонениями, отстранить. В связи с этим возникает задача сглажива­ ния или выравнивания статистических данных. При обработке ста­ тистических материалов, полученных в результате эксперимента, необходимо подбирать теоретическую кривую распределения. Задача нахождения теоретической кривой для статистических рядов со­ стоит в .подборе плавной кривой распределения, наилучшим образом описывающей данное распределение.

Задача о наилучшем выравнивании статистических рядов, как и вообще задача о наилучшем аналитическом представлении эм­ пирических данных, в значительной мере неопределенная и решение ее зависит от того, что считать наилучшим. Одним из универсальных математических методов для выбора наилучшей кривой является метод наименьших квадратов. При этом вопрос о том, в каком именно классе функций следует искать наилучшее приближение, решается уже не математически, а на основании соображений, связанных с природой исследуемого объекта, с учетом характера полученной эмпирической кривой. Принципиальный вид выбранной теоретичес­ кой кривой зависит от некоторых параметров. Задача выравнивания статических рядов переходит в задачу выбора параметров. В каче­ стве критерия выбора неизвестных параметров, наилучшим образом обеспечивающих описание исследуемого процесса, можно восполь­

— оо

где xt — конкретные значения случайной величины; pt — вероят­ ность принятия случайными величинами конкретного численного значения; f (х) — плотность распределения случайных величин; / (х) dx — элемент вероятности;

■б) центральными моментами случайных величин разного по­

ние о смещении кривой распределения случайной величины вправо или влево от исходного закона распределения. Если Sk > 0, то кривая распределения будет сдвинута в левую сторону (положи­ тельная асимметрия), если S k < 0, то кривая распределения будет смещена вправо (отрицательная асимметрия);

г) коэффициентом крутизны закона распределения случайных величин или эксцесс:

С помощью этого показателя можно получить представление о крутизне или плосковершинности закона распределения случайных величин. Если Ех > 0, то кривая распределения будет иметь острую вершину, а если Ех < 0, то она будет иметь плоскую вершину. На­ конец, если Ех = 0, то мы получим подтверждение того, что закон распределения исследуемых случайных величин подчиняется нор­ мальному закону распределения.

Счедовательно, имея в распоряжении все эти показатели, легко делать выводы о законе распределения исследуемых случайных ве­ личин. Далее остается принять критерий близости законов распре­ деления рассматриваемых случайных величин на сопоставление

52

с законом случайных процессов, описываемых соотношением

Ф — fi (х>а) (/ = 1, е),

аналитический выход которых задается последовательно. В мате­ матике разработано множество критериев для оценки близости зако­ нов распределений исследуемых случайных величин тому или иному закону распределения. Для такой оценки мы принимаем критерий «хи-квадрат» X2.

Процесс оценки близости законов распределений с помощью X2 выполняется в следующей последовательности.

1.Все численные характеристики исследуемой случайной ве­ личины вносятся в предъявляемый закон, т. е. Ф = / (ах, Мх, х, і).

2.Вычисляется показатель согласованности по формулам

вующий случай, т. е. количество повторений данной величины при я опытах; я — общее число наблюдений.

Как известно показатель согласованности X2 зависит от степеней свободы рассматриваемой случайной величины г. Это число г равно числу разрядов минус число связей, наложенных на частоту рр

1)

ных величин, характеризующая разброс дискретных значений слу­ чайной величины вокруг своего математического ожидания.

Исходя из численных значений X2, с помощью формул (2.18) вычислен показатель согласованности и построены специальные

можно оценить степень согласованности закона распределения ис­ следуемой случайной величины с законом, предъявляемым в виде

53