Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf

ф/ = fj (X). Из изложенного выше ясно, что процесс отыскания за­ конов распределений исследуемых случайных величин связан с огромными вычислительными трудностями. Выполнение всех вы­ числительных процедур вручную сводит на нет всю ценность описы­ ваемых методик отыскания законов распределений. Для избежания этой трудности необходимо при решении подобных задач приме­ нять современные электронные цифровые вычислительные машины.

Алгоритмы вычисления основных показателей вариационной ста­ тистики. Основным исходным понятием математической статисти­ ки является понятие «вариационного ряда». Варианты (члены) ряда могут быть численными показателями, являющимися результатом наблюдений или экспериментов, или представленными в виде гра­ фических изображений, характеризующих некоторый процесс. Од­ нако обычно полученный на основе наблюдений ряд является только частью генеральной совокупности. Наблюдения и эксперименты не могут быть бесконечными. Очень важным поэтому является выбор метода обработки выборки, с помощью которого можно было бы наи­ более достоверно судить о генеральной совокупности. Для этого необходимо предварительно определить следующие показатели [13]:

1)среднее арифметическое, характеризующее данный вариаци­ онный ряд (Мх); колебания от средней арифметической ошибки в ту или иную сторону — среднеквадратическое отклонение (ох) и про­ цент колебания — коэффициент вариации (Vх);

2)стандартные ошибки и доверительные границы (т (Мх),

т(ох), т (Ѵх)) для этих показателей;

3)достоверность разницы между вариационными рядами.

Степень приближенности статистических показателей к истин­ ному значению зависит, во-первых, от числа наблюдений, во-вто­ рых, от однородности данного вариационного ряда. Поэтому вариа­ ционный ряд группируется в зависимости от однородности его чле­ нов. Кроме того, сходимость показателей зависит и от качественной однородности ряда. Например, при определении длины стопы уче­ ников в одном классе нужно группировать полученные данные по возрасту и полу. В противном случае полученные вариационные ря­ ды будут плохо характеризовать этот антропологический признак.

Статистическая обработка результатов наблюдений состоит в следующем. Пусть в результате экспериментальных или клиниче­ ских исследований получены такие совокупности случайных ве­ личин:

где Х( (і = 1, п) — результаты наблюдений; р( — соответствующие вероятности.

Математическое ожидание этих случайных величин определяется по соответствующим вероятностям в виде

54

иди

н

(2.20)

/=1

л

Если yj Pt ~ 1. то

І = 1

П

2 хіРі- (2 . 21)

і=1

При большом числе наблюдений среднее арифметическое наблю­ даемых значений случайной величины приближается к ее матема­ тическому ожиданию. Из наличия связи между частотой и вероят­ ностью можно получить, как следствие, наличие подобной же связи между средним арифметическим и математическим ожиданием. Пред­

положим, что значение хг то наблюдения появилось в выборке ти

к

ИЛИ

(2. 22)

где —- — статистическая частота.

п

Далее, обозначая эту частоту буквой рі , математическое ожида­ ние можно переписать в виде

значит, среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины равно сумме произведений всех возможных значений слу­ чайной величины на частоту этих значений.

При увеличении числа опытов частота р\ будет приближаться к

соответствующим вероятностям pt, т. е. pt = lim р'\ вместе с ними

П-+ОО

Мх приближается к математическому ожиданию. Степень рассе­ ивания определяется так же, как математическое ожидание, и она имеет вид следующей таблицы распределения:

хх— М (х), х2 — М (X), . . . . х„ — М (х)

(2.24)

55

Вычислим среднюю величину отклонения

Если в этом выражении заменить математическое ожидание его средним арифметическим, то мы получим так называемую статисти­ ческую дисперсию

Дисперсия случайной величины имеет размерность ее квадрата. Для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случай­ ной величины. Для этого из величины дисперсии извлекают квадрат­ ный корень. Полученная величина называется средним квадрати­ ческим отклонением и обозначается так:

с г ( х ) = 1У/ I t e - M W f P e

і1 =\і

В математической статистике показано, что дисперсия выборки,

умноженная на поправку 1 , примерно равна дисперсии сово­

купности, т. е.

- | / È (Хс - М х)2

Следовательно, испытав лишь часть генеральной совокупности, можно характеризовать дисперсию всей генеральной совокупности.

В качестве относительной характеристики рассеивания исполь­ зуется коэффициент вариации, и он показывает, насколько велико рассеивание по сравнению со средним значением случайной величи­ ны:

т % -

При очень большом числе наблюдений среднее арифметическое с большой вероятностью будет приближаться к математическому ожиданию. Если же число наблюдений невелико, то замена матема­ тического ожидания средним арифметическим приводит к опреде­ ленной ошибке. То же самое относится к оценке других неизвестных параметров. Дисперсия выборочной средней или стандартная ошиб-

56

ка средней арифметической определяется следующим образом:

Аналогично будем определять стандартную ошибку среднеквад­ ратического отклонения и коэффициента вариации:

По формулам получаем значения оценок среднего арифметиче­ ского, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариа­ ции.

Чтобы иметь представление о точности, пользуются понятием доверительного интервала, который для среднего арифметического определяется следующим образом:

ß — доверительная вероятность; М0 — истинное значение, характе­ ризующее генеральную совокупность; t$ — в зависимости от вели­ чины ß дается в таблице (значения Лапласа).

Далее будем определять доверительные интервалы средней квад­

а0 — истинное значение.

Во многих случаях конечный результат исследования зависит от различия между найденными экспериментально величинами. Например, пусть с помощью клинических исследований проверя­ ется какой-нибудь новый метод или новый препарат. Иначе говоря, исследователь определяет средние значения по экспериментально полученному ряду и сравнивает найденные результаты. При этом нельзя забывать, что различия среднего значения могут быть вы­ званы случайными причинами. Поэтому в вариационной статисти­ ке для определения существенное™ различия двух нормальных

57

распределений пользуются следующей формулой:

где Мх — среднее арифметическое значение до опыта; М„ — сред­

чение, различие между математическими ожиданиями случайных ве­ личин можно считать существенным. Различие можно признать существенным с вероятностью р = 0,95 при соблюдении условия, выражаемого формулой t > 2.

Для оценки достоверности различия при более строгом уровне

ния. В природе существует ряд явлений, законы распределения ко­ торых можно описывать плавными кривыми. В математической ста­ тистике разработано несколько законов распределений, для которых даны плотности вероятностей. Во многих исследованиях применяют­ ся законы распределения Пуассона — Лапласа, особенно, когда чис­ ло наблюдений или испытаний велико и, кроме того, когда статисти­ ческое распределение однообразно. В статистике фундаментальным законом распределения является нормальный или гауссовский за­ кон распределения. Принципиальная особенность этого закона по отношению к другим состоит в том, что он является предельным законом, к которому стремятся все остальные законы распределения в определенных типичных условиях. Кроме того, этот закон имеет минимальное число параметров, легко определяемых по эксперимен­ тальным данным. С этой точки зрения он является простейшим за­ коном распределения и относится к типу непрерывного распределе­ ния с плотностью

( х - М )

где М — средняя величина данного статистического распределения; о — среднеквадратическое отклонение; х — варианта данного ряда (случайная переменная ); л, е — известные постоянные величины.

Средняя величина а и среднеквадратическое отклонение опреде­ ляются соответственно по следующим формулам:

58