Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf

При анализе эмпирических распределений важное значение име­ ет вычисление показателей симметрии и эксцесса, для чего необ­ ходимо определить моменты разного порядка. Если мы будем рас­ сматривать распределения

где а — произвольно выбранная константа.

Моменты по отношению к константе а разделяются на начальные, когда а = 0; центральные, когда а = М\ условные, когда а ф М,

а Ф 0.

Центральные моменты применяются в анализе эмпирических распределений для характеристики дисперсии, асимметрии и экс­ цесса. Центральные моменты разного порядка вычисляются по сле­ дующим формулам:

рх = а г — М — первого порядка, р2 = а 2 — (М)г — второго порядка,

р3 = а3— ЗМа2-j- 2М3— третьего порядка,

р4 = а 4 — 4Мх3 + 6М2а2+ 3Мі — четвертого порядка,

где

і= І

Далее воспользуемся конкретными моментами третьего и четвер­ того порядков. В случае симметрического распределения нечетные центральные моменты равны нулю. Поэтому, если третий момент не равен нулю, то это свидетельствует об асимметрии распределе­ ния. Исходя из центрального момента третьего порядка, определим асимметрию

А— характеризует асимметрию распределения.

Спомощью параметра А мы получаем некоторые предположения

оформе исследуемого статистического ряда. Распределение счита­ ется почти симметричным, если |Л| < 0,1, и сильно асимметричным,

59

четвертого порядка р,4 определяем эксцесс Е по формуле

Р а 4 — Ш а 3 + 6М2а 3 + ЗМ4

К - (М)3]4

На основании параметра Е мы получаем сведения о крутизне кривой. Если Е <. О, то кривая вогнута по сравнению с нормальной кривой, если Е > 0 — она заострена сверху. Распределение счита­ ется близким к нормальному, если |Д| < 0,1, и значительно откло­ няющимся от нормального, если |Д| > 0,5.

Далее выдвигается гипотеза о том, что закон распределеная'рассматриваемых случайных процессов близок к закону нормального распределения. В математической статистике разработано мно­ жество критериев для оценки достоверности принятых допущений о распределениях. Некоторые из них справедливы лишь для определе­ ния моделей, другие применимы для широкого класса законов рас­ пределений. Мы будем использовать для проверки любого распреде­ ления критерий хи-квадрат Пирсона, который определяется по

тистический ряд необходимо разделить на классы, а затем опреде­ лять вероятности совпадения случайных величин на участках между двумя классами. Эта вероятность находится по формуле

Pt {ßi-i < М < ß,} = Ф (ß,) - Ф (ß,-i),

где ф (ßt) — значение функции распределения, соответствующее высшей границе класса і; Ф (ß(—і) — значение функции распреде­

эмпирического распределения определяются следующим отноше­ нием:

где с,- — число наблюдений, появляющихся в і классе.

По формуле (2.30) определяется численное значение X2, а затем по числу степеней свободы из специальной таблицы находится веро­ ятность близости эмпирической кривой распределения к нормаль­ ному закону распределения. Итак, при помощи критерия Пирсона оценивается степень согласованности эмпирического закона распре­ деления с нормальным законом распределения.

Из изложенного выше очевидно, что исследование случайных величин, описывающих некоторые случайные процессы и определе­ ние законов их распределения, требует выполнения большого коли­ чества вычислительных работ, чего нельзя осуществить без при­ влечения современных электронных вычислительных машин.

60

Г л а в а 3. МЕТОДЫ СИНТЕЗА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

1.Синтез математических моделей одномерных систем

Алгоритм определения веса влияющих факторов. Исследование мно­ гомерной системы с помощью методов математического моделирова­ ния приводит к решению сложных математических задач. В связи с этим перед исследователем естественно возникает мысль о поиске методов упрощения математической модели без ущерба для основ­ ного содержания рассматриваемого явления.

Как известно, степень сложности математической модели в ка­ кой-то мере обусловлена степенями свободы рассматриваемой много­ мерной системы. Следовательно, уменьшение степеней свободы исследуемой системы является одним из источников упрощения мате­ матической задачи определения математической модели рассматрива­ емой системы. Вместе с тем, всякое снижение степеней свободы у ис­ следуемой системы приводит к ухудшению качества математической модели, т. е. модель становится неточной и не полностью отража­ ет реальность. Однако роль каждого фактора в процессе формирова­ ния исследуемого процесса различна, т. е. каждый фактор, который является отдельным элементом большой системы, по-разному воз­ действует на выходную функцию большой системы. Следовательно, критерий оценки веса каждого фактора должен строиться так, чтобы можно было получить количественный показатель оценки веса каж­ дого фактора в многомерной системе.

В природе большинство рассматриваемых многомерных систем обусловлено случайными процессами. Поэтому выдвигаемый крите­ рий оценки веса влияния каждого фактора должен быть построен на основе законов случайности, что сильно усложняет процесс выработ­ ки критериев.

Одной из распространенных в практике теорией случайных про­ цессов является теория корреляции. Сущность этой теории заключа­ ется в следующем. Пусть задан случайный процесс, описываемый случайной величиной Y, значения которой обусловлены влиянием случайных величин

X » Хя, х а, х п.

Будем считать распределения этих случайных величин извест­ ными и подчиненными нормальному закону. Взаимосвязь случай­ ных величин исследуем по принципу «черного ящика». Иными слова­ ми, на интегральное воздействие факторов, описываемых случайными величинами

61

«черный ящик» отвечает определенной реакцией, описываемой слу­ чайной величиной

Механизм организации реакции «черного ящика» на внешнее воз­ действие остается неизвестным. Задача состоит в раскрытии функ­ ционального механизма организации реакции «черного ящика» на внешние раздражения.

Пусть мы располагаем достаточной информацией, характеризую­ щей влияние факторов, а также значением выхода, который легко установить экспериментально. В этом случае по критерию оценки веса влияющих факторов можно выбрать коэффициенты корреля­ ции, характеризующие взаимоотношения каждого соответствующе­ го влияющего фактора с реакцией системы. Для описания методов корреляционного анализа предположим, что для изучения механиз­ ма организации реакции «черного ящика» на различные воздействия произведено т экспериментов при одинаковых условиях. Результа­ ты экспериментов сведены в табл. 10.

Т а б л и ц а 10. Результаты экспериментов

В первом столбце указаны номера опытов, во втором приведена соответствующая реакция «черного ящика», фиксированная в соответ­ ствующем эксперименте. В последующих столбцах помещены при­ даваемые каждому фактору значения раздражений соответственно в каждом эксперименте. Например, значение у является количест­ венным изображением реакции «черного ящика» на интегральное раз­ дражение влияющих факторов в /-м эксперименте, а х^ — количе­ ственным значением раздражения, вносимым і-м фактором в у'-м эксперименте.

Далее предположим, что все результаты эксперимента описыва­ ются случайными величинами и законы распределения их подчинены нормальному закону распределения. Из теории вероятности извест­ но, что если основные численные характеристики случайных вели-

62

чин подчинены нормальному закону распределения, то они опреде­ ляются проще:

Аналогично определяется среднеквадратическое отклонение

au = V D (у)

Приведенные показатели являются основными характеристика­ ми соответствующих случайных величин, однако они не могут харак­ теризовать взаимоотношения случайных величин.

Для изучения взаимоотношения исследуемых случайных вели­ чин необходимо рассмотреть другие характеристики, отличающиеся от указанных выше. Одной из таких численных характеристик яв­ ляется соотношение

тт

kyxi — ДГ £ Уі ~ ДГ S Уі Хі‘ ---- т £ ХП и ~ 1>я).

называемое коэффициентом корреляции. Эта величина в определен­

Однако с помощью коэффициента корреляции нельзя количест­ венно оценить силу или слабость корреляции этих случайных вели­ чин. Он указывает лишь на тесноту их связи. Коэффициент корреля­ ции — это показатель степени сложности законов зависимости меж­ ду двумя случайными величинами. Следовательно, он не может быть хорошим показателем для оценки веса влияющих факторов. Поэто­ му критерием оценки веса влияющих факторов необходимо вы­ брать другую численную характеристику. Для этого рассмотрим закон, устанавливающий взаимосвязь между двумя случайными

63