Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf

аi ß так, чтобы выражение

тт

ветствующим параметрам а и ß.

Далее, раскрывая систему (3.3), получим систему линейных не­ однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных

64

При этих обозначениях (3.2) перепишем в виде

Решая систему (3.5) относительно неизвестных а и ß, получим

R = А~1Ь,

Внося найденные значения в приближенное уравнение регрес­ сии (3.2), получим

Оценим степень приближенности уравнения регрессии (3.6); вы­ числим дисперсию, т. е. усредненное суммарное значение квадрата отклонений точек от найденной прямой:

где I — степень свободы (в данном случае I — 2).

Введем в рассмотрение показатель силы корреляции, являющий­ ся количественной характеристикой коррелированное™ исследуе­ мых случайных величин:

Если значение £ близко к нулю, то можно сделать вывод о том, что между случайными величинами Y и X,- существует сильная корре­ ляционная связь, в противном случае, если £ ->■ 1, то между ними су­ ществует слабая корреляционная связь. Это и есть основной критерий оценки веса влияющих факторов. Из сказанного ясно, что примене­ ние приведенных методик для выделения основных факторов с боль­ шим весом влияния сопряжено с определенной трудностью в вы­ числениях. Поэтому изложенные алгоритмы мы запрограммировали для решения на современных ЭЦВМ.

Синтез однопараметрической математической модели. Описание закономерностей влияния случайной величины на формирование другой случайной величины с помощью линейной аппроксимации достигается не всегда с желаемой точностью. Однако степень точ­ ности аппроксимации можно повысить последовательным услож­ нением математической модели [14 J. С этой целью вначале рассмат­ ривается самая простая аппроксимационная математическая модель

где by, by — неизвестные коэффициенты.

Приближенное уравнение регрессии находится методом наимень­ ших квадратов, который сводится к определению элементов обрат­ ной матрицы А~1, т. е.

Ъ= Л '1 С,

Далее, подставляя найденные значения Ьг и Ь2 в приближенное уравнение регрессии, получим простейшую математическую модель исследуемого явления. Для определения степени точности аппро­ ксимации изучаемого процесса с помощью полученной простейшей

i=1

Если найденные по формуле (3.9) численные значения дисперсии будут лежать в пределах ошибки, то это является достаточным основанием для заключения о том, что наилучшим описанием иссле­ дуемого процесса есть описание с помощью простейшей линейной модели.

Опыт многочисленных исследователей показывает, что явления, описываемые случайными величинами, не всегда молшо достаточно точно аппроксимировать с помощью линейной модели. Внутренняя организация взаимосвязи этих случайных величин довольно слож­ ная, и поэтому для раскрытия механизма ее необходимы более слож­ ные аппроксимационные математические модели.

Известно, что последовательным усложнением аппроксимацион­ ной математической модели изучаемый случайный процесс можно описать с требуемой степенью точности. Вместе с тем, последова­ тельное усложнение модели требует выполнения непрерывно нара­ стающего количества вычислительных работ.

Алгоритмы поиска наилучшей аппроксимационной математиче­ ской модели можно построить по принципу: от наиболее сложной модели к наиболее простой с учетом степени точности описания. Одна­ ко такой алгоритм был бы неэкономичным в смысле объема вычисли­ тельных работ.

Поэтому если линейная модель не достаточно точна для описания

66

В этом случае количество неизвестных коэффициентов прибли­ женного уравнения регрессии становится больше, чем в линейной модели, что приводит к усложнению решаемых математических за­ дач, связанных с матрицей третьего порядка

Далее проверяется точность аппроксимации с помощью диспер­ сии

Аналогично принимается решение о применимости данной мате­ матической модели для описания исследуемого случайного процес­ са, если численное значение дисперсии D2 заключено в пределах ошибки опыта. Если же последнее превышает заданную ошибку, то аппроксимационная математическая модель усложняется введением в нее нового нелинейного члена в виде

Данная уточненная модель требует определения еще большего количества неизвестных коэффициентов приближенного уравнения регрессии. Задача отыскания этих неизвестных коэффициентов ста­ новится более сложной, чем в предыдущей модели и требует исполь­ зования матрицы четвертого порядка

‘С,

Далее, внеся найденные значения коэффициентов приближенного уравнения регрессии Ьъ Ь2, Ь3, 64 в уравнение (3.13), получим мо­ дель исследуемого процесса. Для оценки точности аппроксимации

X = 1

Продолжая таким образом процесс последовательного усложне­ ния математической модели изучаемого случайного процесса с тре­ буемой степенью точности, приходим к модели, которую в общем ви­ де можно представить так:

Задача определения коэффициентов blt b2, Ьа, ..., Ьп, Ьп + 1 приближенного уравнения регрессии (3.14) требует уже проведе­ ния операции с матрицей п -f- 1-го порядка

Ь = А-'С,

где

Сп

_ Сп+1_

= 1, л -f- 1; 8 — 1, п).

Для оценки степени точности аппроксимации получим алгоритмвычисления дисперсии в общем виде:

Легко заметить, что каждое последующее усложнение матема­ тической модели приводит к увеличению порядка системы неодно­ родных алгебраических уравнений, составленной при помощи ме­ тода наименьших квадратов, относительно неизвестных коэффи­ циентов уравнений регрессии. Из последовательности алгоритмов вычислений очевидно, что процесс усложнения аппроксимационной модели получается при помощи почти однообразных алгоритмов вы­

68