Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf

числений. Сохранение однородности структуры алгоритмов полу­ чения все более усложняющейся модели является одним из основ­ ных преимуществ данного метода моделирования сложных процес­ сов. Однородность алгоритмов построения модели и ее доступность матричному описанию позволяет широко внедрять современные ЭЦВМ для изучения самых различных сложных случайных про­ цессов.

Наряду с названным выше достоинством описанный метод по­ иска закономерностей исследуемого явления имеет и недостаток. Дело в том, что в алгоритм вычисления дисперсии (3.15) входит параметр I, указывающей на степени свободы системы. В процессе последова­ тельного усложнения математической модели этот параметр увели­ чивается и поэтому соотношение т — I все более приближается к

нулю. Следовательно, множитель стоящий перед суммой, бу­

дет стремиться к бесконечности. При этих предельных значениях дисперсия обратится в бесконечность:

в том, что с математической точки зрения последовательные усложне­ ния модели должны были бы обеспечить монотонное понижение по­ следовательных значений дисперсии, т. е.

Dl< D 2< D 3< . . . < D „.

Однако монотонное увеличение параметра I приводит к увеличе­ нию дисперсии. Такое несоответствие, как указано ниже, вполне устранимо.

Итак, последовательное усложнение математической модели для описания исследуемого процесса имеет определенный предел, обу­ славливаемый параметрами т и /.

Алгоритм синтеза адекватной математической модели. Непре­ рывное увеличение степеней свободы модели приводит к монотон­ ному снижению качества оценки точности аппроксимации. Наличие данного недостатка метода не позволяет непрерывно улучшать точ­ ность аппроксимации изучаемого процесса и вынуждает нас огра­ ничиться процессом усложнения модели для определенного преде­ ла параметра I. Это связано с тем, что вносимая параметром I погреш­ ность в оценке точности аппроксимации до определенного значения не превышает заданного предела ошибки. Иными словами, это озна­ чает, что при I С Іг дисперсия

может служить приемлемым критерием оценки точности данной ап­ проксимации.

69

Если I > Zj, то дисперсия становится непригодным критерием оценки точности аппроксимации. Так, в данном случае вносимая в критерий погрешность от увеличения параметра I становится сущест­ венной и выходит за пределы допускаемой ошибки.

Определение предельного значения параметра /, обуславливаю­ щее пригодность критерия оценки точности аппроксимации, являет­ ся одной из трудных задач построения модели. В настоящее время в математике существует ряд способов оценки предельных значений этого параметра. Одним из наиболее часто используемых является способ критерия Фишера [7].

Используя критерий Фишера, можно разработать алгоритм поис­ ка адекватной (наилучшей) математической модели для описания сложных случайных процессов.

Пусть проведено достаточное количество экспериментов над ис­ следуемым объектом и получены данные, характеризующие его дея­ тельность:

Y — Y {Уіг У2! - ■• 1 Ут}>

Xj = X j {X/i, Хуо, . . . , Xjin} (І ~ 1) Д ■

Алгоритм поиска адекватной математической модели с использо­ ванием критерия Фишера состоит в следующем.

Вначале рассматриваются математические модели с соответствую­ щими оценками точности аппроксимации:

k=\

Затем определяется степень улучшения математической модели. Для этого сравниваются полученные численные значения диспер­ сий Dx и Z)2.

Если D2 < Dx, то это свидетельствует об улучшении модели пос­ ле введения в модель аппроксимации нелинейного члена; если же Dj < D2, то необходимы дополнительные исследования по выяс­ нению причины нарастания дисперсии. Как известно, источником нарастания дисперсии является погрешность, вносимая параметром Z, и ухудшение качества аппроксимации. Поэтому наиболее обосно­ ванным критерием принятия решения об адекватности последующих математических моделей есть критерий Фишера. При его использова­ нии составляется отношение двух дисперсий и сравнивается с числом

F\—r'

(3.16)

70

Число Fi_r берется из специально разработанных таблиц по за­ данному уровню значимости и степени свободы.

Если удовлетворяется условие (3.16), то последняя математи­ ческая модель считается лучше предыдущей, поэтому принима­ ется решение оставить последнюю модель как лучшую аппроксима­ цию по сравнению с предыдущей. Далее разрабатывается более сложная модель с соответствующей оценкой точности аппроксима­

Эта модель анализируется аналогичным образом по критерию Фишера

В зависимости от выполнения или невыполнения этого неравен­ ства принимается решение о выборе данной модели. Поиск адекват­ ной математической модели продолжается до тех пор, пока отноше­ ние дисперсий не выходит за пределы критерия Фишера. В общем случае критерий Фишера применяется для двух соседних моделей:

Появление отклонения отношения последующих дисперсий от критерия Фишера свидетельствует о том, что последующие услож­ нения математической модели не приводят к цели. В таком случае последующее увеличение степени свободы математической модели выводит ошибку из области допустимых значений. Поэтому адекват­ ной для описания исследуемого процесса принимается k-я матема­ тическая модель, а последняя k + 1-я модель отбрасывается как худшая чем предыдущая.

Из сказанного очевидно, что применение метода последователь­ ного усложнения математической модели целесообразно в тех слу­

71

большим и выражение т — I будет медленно стремиться к нулю. Следовательно, при малом количестве экспериментальных данных этот метод не позволяет получить математическую модель с тре­ буемой степенью точности аппроксимации.

2.Синтез линейных и нелинейных математических моделей многомерных систем

Постановка задачи. Исследователи часто сталкиваются с явлениями, которые абстрактно можно представить в виде сложной взаимосвя­ занной многомерной системы. Изучение подобных многомерных си­ стем методами математического моделирования представляет боль­ шой интерес и является весьма перспективным.

Пусть требуется исследовать сложный процесс, описываемый взаимодействиями некоторых факторов, и в общем виде зависящий от времени и параметра. Предположим, что механизм организации взаимодействия неизвестен, известны лишь состояния управляющих и управляемых факторов. Не касаясь сложных механизмов органи­ зации взаимосвязи управляющих и управляемых факторов, пред­ ставим их взаимоотношения при помощи «черного ящика».

Пусть известны значения управляющих факторов

Дискретные состояния управляемых факторов

Выходные значения системы формируются вследствие интеграль­ ных воздействий управляющих факторов. Пусть механизм взаимо­ действия выхода и входа системы описывается некоторым пока не­ известным оператором L:

Оператор L может быть выбран из любого класса операторов в зависимости от природы исследуемого процесса. Что касается управ­ ляющих и управляемых факторов, то они в общем виде могут зави­ сеть от времени и от различных других параметров.

В последующем изложении попытаемся описать функционирова­ ние данной многомерной системы в некоторых предположениях. Здесь мы рассмотрим некоторое фиксированное дискретное состоя­ ние управляющих и управляемых факторов:

при t = tk

Как легко заметить, в этих предположениях динамическая зада­ ча сводится к статической. Таким образом, сложная динамическая задача вначале разрешается в более простом варианте — статике.

Рассмотрим определение оператора L, взятого из некоторых классов.

72