Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf

Моделирование многомерных систем с помощью линейных опе­ раторов. Здесь мы не будем рассматривать взаимодействие управ­ ляющих факторов, так как в предыдущем параграфе изложены ме­ тоды исследования взаимных влияний отдельных факторов. Однако описанные алгоритмы не позволяют изучить одновременное влияние управляющих факторов на выход системы. Далее будем предпола­ гать, что дифференциальное влияние управляющих факторов мож­ но рассматривать как пропорциональное и одновременное влияние всех управляющих факторов, и тогда интегральный выход системы в первом приближении представим в виде

Таким образом, линейный оператор, описывающий дискретное состояние сложной многомерной системы, имеет вид линейного при­ ближенного уравнения регрессии.

Для определения неизвестных коэффициентов приближенного

уравнения регрессии bt (I = 0, п) воспользуемся методом наимень­ ших квадратов, который требует минимизации функционала

(3.19)

Как известно из теории вариационного исчисления, это условие минимизации функционала достигается при

Раскрывая систему (3.20), получим систему неоднородных ли­ нейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэф­

фициентов bt (і = 1, п) приближенных уравнений регрессии (3.18). Запишем эту систему в матричной форме:

73

Далее, для определения неизвестных коэффициентов воспользу­ емся одним из численных методов. Тогда получим

Ъ= A~ld.

Подставляя найденные значения коэффициентов bt (і = 0, п) в приближенное уравнение регрессии (3.18), получим математическую модель исследуемой системы.

Точность аппроксимации исследуемой системы оценивается сте­ пенью разбросанности (дисперсией) экспериментальных точек отно­ сительно данной гиперплоскости (см. формулу (3.18))

где I — степень свободы исследуемой системы.

Как известно, при моделировании многомерных систем прихо­ дится оперировать различными факторами, имеющими разные единицы измерения. Поэтому целесообразно определение безразмер­ ной математической модели, так как она легко анализируется. Мож­ но также вывести рекуррентные соотношения, позволяющие пере­ ход от безразмерной модели к размерной. С этой целью вместо компо­ нент исходных факторов вводятся централизованные (безразмерные) компоненты в виде

(3.23)

где

т т

т

2[Ух — Му?

т—I

Вэтих централизованных компонентах уравнение приближен­ ной регрессии имеет вид

74

Для определения неизвестных уравнений регрессии ß/ (J — 1, п) также воспользуемся методом наименьших квадратов, который при­ водит к минимизации функционала вида

Условия минимизации следующие:

Раскрывая их, получим систему линейных неоднородных алгеб­ раических уравнений относительно неизвестных коэффициентов

Внося найденные неизвестные коэффициенты в приближенное уравнение регрессии (3.24), находим безразмерную математическую модель для описания исследуемой многомерной системы. Здесь также для оценки точности аппроксимации примем меру рассеянности экспериментальных точек относительно гиперплоскости, описывае­ мой уравнением (3.24)

Итак, моделирование многомерных систем с помощью линейных операторов в классе регрессионного анализа приводит к составлению и решению системы неоднородных алгебраических систем уравнений

75

п-го порядка. Однако линейная аппроксимация многомерных слож­ ных систем с помощью линейных операторов не всегда дает требуе­ мую степень точности аппроксимации. Поэтому необходимо разра­ ботать алгоритмы, позволяющие получить математическую модель исследуемой многомерной системы повышенной точности.

Алгоритм моделирования многомерных систем с помощью нели­ нейных операторов. Функционирование многомерных информацион­ ных систем обуславливается сложными дифференциальными и ин­ тегральными взаимодействиями управляющих и управляемых фак­ торов. Поэтому линейные операторы часто не в состоянии отразить всю полноту сложных взаимодействий факторов, и для раскрытия особенностей исследуемого явления необходимо использовать до­ вольно сложные нелинейные операторы. Поиск нелинейных опера­ торов для описания сложных многомерных информационных систем требует разрешения ряда сложных математических задач. Нелиней­ ный оператор в общем виде можно представить так:

Для оценки точности аппроксимации можно принять критерий

где b\b), ßij, Cluj — неизвестные коэффициенты приближенного уравнения регрессии.

Далее, для определения неизвестных коэффициентов прибли­ женного уравнения регрессии воспользуемся методом наименьших квадратов, который требует минимизации функционала

i<l<l=3

(3.28)

76

Из условия минимума функционала (3.28) получим систему линейных неоднородных алгебраических систем относительно неиз­

ft=l

Далее, решая систему (3.29) с помощью численных методов, получим

77