Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 87

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

а11

 

а 12

•

• .

ß lrt

 

 

 

J. ■ lft

=

a 21

 

° 2 2

•

•

Ö2H

>

Вп =

 

 

 

_ 0л1

 

а « 2

• •

& пп __

 

 

 

Л

і

Ь 1 з . .

■ ь<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

to to

1!

 

^22

* •

•

6 г с з

;

Л 21

—

„ил»

 

 

 

 

 

 

й ю

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

„ ( 1 ° )

 

^rzl

&л2

• •

 

 

 

 

 

 

_ &пО

 

•

К с ?

 

 

 

 

hx

&12 . . .

V

,

 

&21

^22 • • •

 

 

 

 

 

 

»

 

&п\

Ь п 2 • • ■

Ь 2

 

„ ( 1 ° )

„ ( 1 ° )

• • ■

„ ( 1 ° ) " I

й о і

Й02

а 0п

 

„(і-О )

„(І-О )

• • •

„ ( 1 . 0 )

 

й ц

Й 12

й 1„

 

„ а - о >

„ 0 - 0 )

• • •

а (1 0 )

_ |

 

й « 2

ь*/ІЛ

• а »

ап

„(1-ft)

ЛоЬ = Й21

„(1-ft) Lfl«l

_d.ft)

а i2

„ ( l . f t )

Й22

„(l.ft)

an‘2

Jl.« '

 

“ èn

 

h i

„а.*)

B0,

Й2n

=

,0-ft)

6;ll

 

 

~ h i

h i

••

 

 

 

 

я (fe-°) „(*•0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

floo

Й01

 

 

Ь \2

b 22

. . .

 

 

s *=c

II

„(ft-о)

„(*0>

B 22

—

 

 

&2CÜ

Й10

a w

 

•

 

 

 

 

 

 

 

„(fc.0)

„(*■0)

 

&п\

b n 2 . .

Ь о

 

 

 

& nl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ncL

 

 

 

 

 

 

r „ ( f t - i )

 

„ ( * ■ ! >

 

„ ( f t - 1) - !

 

„ ( f t - f t )

 

 

Й Ц

 

Й 1 2

 

 

G i r t

 

 

Й Ц

A-k'2

 

A m

 

„ ( * ■ 1)

 

„(ft-1)

 

 

 

=

Й 2 1

 

Й 2 2

 

 

0-2n

;

A * =

й Г

 

 

( Й + 1 . 2 )

( f t + 1 . 2 )

 

a m )

 

 

 

 

 

L f l n i

 

U n 2

 

 

_ J

 

 

 

 

 

 

• • • u nn

 

 

 

 

MVft)

M i - « . ..

&( J

r

 

 

 

 

 

<1

 

 

 

 

•ßftl

^ • fc)

Й & * . ■

• ‘ S ?

#ft2 = '

fig-*1

=

 

*& *».

^12 • • 6<2

 

^22 *

■ b

2

 

 

 

 

2Сп

 

<l2

.

b

 

 

 

 

 

n c -

 

 

„(*■0)

•

• •

A m

-]

Ö02

 

 

 

(*.0)

. . .

„(А.0)

 

Й12

ftl/l

 

„<*•<»

«

• .

A k .° )

Jj

a n2

Ufirt

„(ft-ft)

. .

„ ( f t - * )

I

Й 1 2

й

і ;і

 

„(ft-ft)

 

 

„

(ft-*)

 

U 2 2

 

 

Й 2 d

 

Л (А.А)

 

 

 

(ft-ft)

f l n 2

• • •

u nn _ |

ég-4 . . . b ^ f -

.. ь 12$ '< _

„ ( f t + 1 - 1 ) Й 1 0

„( f t - и л ) Й 2 0

„( f t + 1 - 1 )

а< о

-( f t + l - f t )

„( f t - H - f t ) Й 2 1

„( f t + l - f t )

-b ( f t + , .2)

^ ( f t - H . 2 )

ö ( f t + 1 . 2 )

_ c b

-( f t + 2 . 1 )

ЙЦ

„ ( f t + 2 - 1 ) Й 2 1

( f t + 2 . 1 )

~Ь \ 1 +2Л)

h \ +2A)

 

^ f t + l . l

=

 

„ ( f t + 1 - 1 )

 

 

Й Ц

 

 

 

а

Г

' Л ) . . .

 

( f t + i . i )

 

 

я

ф

. . .

^ f t + i . f t =

 

 

„ ( f t + i - f t )

•

•

й [ 2

■

„ ( f t +

l-ft)

 

 

Й 2 2

•

•

•

„( f t + l - f t )

Ф• • •

ß f t + 1 . 2

=

 

0 12

•

•

 

•

U22

• •

•

, ( * + 1 . 2 )

 

 

 

 

 

•

•

•

 

- ^ f t + 2 . 1

 

=

 

 

„ ( f t + 2 . 1 )

 

 

 

 

Й 1 2

 

•

•

•

„ ( f t + 2 . 1 ) Й 2 2

„ ( f t + 2 . 1 )

„( f t + 1 - 1 ) f l l n

„( f t + 1 - 1 )

0-2n

9

а(/г,+ І Л ) c 2 "

( f e + l . f e ) ^ l r t

„ ( A + I - f t )

&2n

»

„ ( f t + i - f t )

a r 2n

_

Cnn

. ( f t + 1 . 2 )

-

61 C 3

/. ( f t + 1 . 2 )

4 S

»

b c 2c 3

__

n n

( f t + 2 . I )

"

„ ( f t + 2 . 1 )

 

Й 2 n

>

 

„ ( f t + 2 - 1 )

 

„( f t + 1 - 2 )

й ц

„( f t + 1 - 2 ) Й 21

„( f t + 1 - 2 )

ac 2 1 n

^ f t + 1 . 2 =

„( f t + 1 - 2 ) Й 1 2

„( f t + 1 - 2 ) Й-22

„( f t + 1 - 2 ) « C 2 2

ß f t + 1 . 1 =

n (k+\.2)~

& ln

„( f t + 1 - 2 ) Й 2 «

„( f t + 1 - 2 )

а г 2 „

c „ n

—/ . ( * + 1 - 1 )

. ( f t + I - 1 )

■ •

•

6 ( f t + l . D -

O l l

012

! C 2

 

 

 

 

t ( f c + M )

 

 

 

Ö ( f t + U )

O 2 I

^ + u >

. . .

 

2 C ^

 

 

 

 

n

« . ( f t + i - i )

b ikt

U ) . . .

_ Ч

'

C - 2

 

 

 

 

 

^ 4 f t + 2 . 0

=

 

( * + 2 . 0 )

„ ( f t + 2 - 0 )

Й 1 0

Й Ц

 

„ ( f t + 2 . 0 )

( f t + 2 . 0 )

O 2

0

Й21

• • •

« . ( f t + i . i )

° C 2 C 2

n n -

„ ( f t + 2 . 0 )

йі л

„( f t + 2 - 0 ) O 2 л

„ ( f t + 2 . 0 )

( f t + 2 . 0 )

 

 

„ ( f t + 2 . 0 )

 

_ a

^ o

a<A i]

”

•

а r 3 „

_

 

 

 

Ä k + 2 .k =

 

 

 

 

-

( f t + 2 . f t )

„ ( f t + 2 . f t )

 

 

„ ( f t + 2 . f t ) -

 

Й Ц

f l ] 2

. . .

Й І Л

 

 

ik+2.k)

„ ( f t + 2 - f t )

 

 

- ( f e + 2 . f t )

 

U 2 2

Й 2 2

•

•

-

 

 

„ ( * + 2 . f t )

„ ( f t + 2 - f t )

 

 

„ ( f t + 2 - f t )

 

a C 32

 

a c \

 

 

 

V « "

.

 

n

 

n

 

 

 

 

ß f t + 2 . I =

 

 

 

B k + 2 .2 =

 

 

Ь \ Р * Л' . .

Ъ Ң 2 Л ) -

 

- ö ( f t + 2 . 2)

6 < * + 2 -2 > . . .

6 ( f t + 2 , ,

1c l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b (kt 2 -n

 

 

 

« , ( * + 2 . 2 )

^

+ 2 -u . .

 

M f + 2 ‘2 )

б Г 2 -2) . .

Ö 2 C 3

 

 

 

2 C 2

 

 

 

 

 

 

> = =

 

 

 

n

 

 

 

/ , ( f t + 2 . 1 )

 

6 ( f t + 2 . 2 )

^ ( f t + 2 , 1 _ _

b T

c s ’

^

n

J ) • •

‘ Ö C 3 C 2

 

 

 

_

Ф

 

/1

n

 

 

П n _

 

78

" 6b“

" &?>-

\ b \k)~

61°

; ö(2) ==

№

b(1) =

; . . . ; &(ft> = ] -

_ b<2)_

ГPu 1

 

=

ß l2

;

а =

 

 

 

 

 

_ ßn —I ,n _

 

 

 

4

1 ) _

Г

d \ 2 ) ~

d(1)

d l “

cT

li

d P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(О

 

_ d ? J

 

d П

 

 

 

 

^12

 

 

 

d

=

^13

;

d =

 

 

_ d n—1 ,n_

Ы > _

«123 a i2 4

_ a n—2.Л—1.4 _

 

" d l k ) ~

S' ■X3

d ä 4

1!

^1,2.3

d\.2A

_ d n—2.n—\.n_

 

 

 

$ ,v) =

4" S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = l

 

 

 

 

 

 

 

( i =

0 , n ;

j

= 1 ,

n ;

/ =

0, А;

V=

0, A);

 

M}-°

 

 

г/ ^

 

(i =

T ^ ;

 

/ = Г С 2);

 

 

X = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

(i =

1. n\

 

/ =

1, C2);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( / = 1 ;

/г);

 

 

 

2ix =

-^Ix-^x»

 

 

^lx = ^х^х-^Зх)

 

 

 

^2x ~

-^Іх-^Зх»

 

 

^2x =

-^lx-^2x.-^4x»

 

 

 

n

— % n—1,х-*ѵгх»

 

^C^x

 

—

 

 

—l.x-^rcx

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

ad+U)

 

 

 

(к = 1, m);

~Cl\

І

 

77

=

 

Ѣ

 

 

(i =

=

 

 

 

 

lT

 

 

І

г);

 

 

 

X = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ß (ft+2-0

=

J _

j j

* / x ^ x

( i

=

1 . C ';

j

=

1,

/г);

 

 

 

K=l

( l = l , k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b Cfc+‘.M =

j -

2

2/-,2«x

ft

= 1, C„;

 

/ =

1, C2}.

 

 

 

x = !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

80

Компоненты вектора б вычисляются при помощи приведенных выше соотношений. Используя найденные численные значения ко­ эффициентов приближенного уравнения регрессии (3.24), по­ лучим математическую модель исследуемой сложной многомерной информационной системы.

3.Введение времени или параметра в модель многомерных систем

Вприроде почти нет явлений, свободных от элемента динамичности. Всякий исследуемый процесс, особенно для многомерных информа­ ционных систем, в определенной мере также содержит элементы ди­

намичности. Математическое моделирование динамических процессов имеет ряд трудностей. Из-за сложности исследования в основном приходится ограничиваться изучением динамических процессов в отдельные (дискретные) моменты времени. Получив таким образом некоторое представление для фиксированного момента времени, мы стараемся сделать обобщение для последующих моментов.

Достоверность обобщений необходимо подтвердить эксперимен­ тально. Как известно, предсказание на базе предыдущих результа­ тов часто опровергается экспериментальными проверками. Поэтому разработка методов получения динамической модели для описания сложных многомерных динамических систем представляет большое теоретическое и практическое значение.

Пусть над исследуемой многомерной системой произведено до­ статочное количество испытаний в каждое дискретное значение мо­ мента времени,'и при помощи описанных выше методов моделирова­ ния получен ряд математических моделей для описания состояния многомерной системы в соответствующие моменты времени:

для момента времени t — t0

g m = 2

ь ? Л)Х і + 2 b i°'2)J +

• • • + 2

+

;=о

*=]

/=1

 

+

cl

$ fxixi +

cl

 

 

 

V

V а'/і-ИДД +

•• i

(3.30)

 

; < / = 2

 

/< /< /=з

 

 

 

для момента времени t — tx

 

 

 

yW e

t=0

+ 2 bf-2)x] +

. . . + 2

b\Uk)x1 +

 

 

(=1

 

:=1

 

 

+

Сп

 

 

2

а$1х1х1х1

’(3.31)

2

 

 

 

(</=2

 

/< /< ;= з

 

 

 

6 4-328

81

для момента

времени t

=

tk

 

 

 

 

У№ = V b\( * . i )

+ S

bi^ x 2t +

+ У

+

1=0

 

 

i=i

 

 

i=i

 

 

с*в

 

 

 

 

 

 

 

(3.32)

+

у

ß l/4 * / +

 

У

« $ * ,* /* ,+ ••• ,

</І2

 

 

1</<1

з

 

 

где

 

 

 

,/б).

 

(б).

„(в),.

 

у = у Ы б>;

 

 

 

 

Уз

і/т /.

 

X j

=

ЛГ/

{jcjiö);

 

„(б).

 

 

„(б).

 

Х]->,

 

 

 

 

хц — результат і-го опыта для /-го управляющего фактора в момент / = t6\ Уі — результат г-го опыта для управляемого фактора в мо­ мент времени t = t§. Анализируя полученные нелинейные математи­ ческие модели для дискретных значений времени / = /0; I — tx;

t =

/2;

t = t-v, легко заметить,

что

коэффициенты

bjö'K}, ß,-/’,

схці

(б =

0, ѵ; і =

1, /г; j =

2, С2\ I = 3,

С?,; х =

1, k)

приближен­

ного уравнения регрессии суть функции времени

 

 

 

 

&(б.х) = 6(Лх) до

(б =

бГѵ),

 

 

 

 

 

 

ß,7) =

ß!v) W

(x =

I7 ä),

 

{i =

17«),(3.3

 

 

а{/>=

сс$ (0

(/ =

2ГС^),

(/

^ З Г С£).

Следовательно, исследуемая нами сложная многомерная система является динамической и поэтому математическое описание данного процесса с помощью приближенного уравнения регрессии с постоян­ ными коэффициентами не соответствует реальности. При помощи полученных последовательных приближенных уравнений регрессии с постоянными коэффициентами можно приближенно описать от­ дельные дискретные состояния рассматриваемой многомерной систе­ мы. Что касается полного математического описания динамического процесса, то здесь необходимо изучение системы неизвестных функ­ ций (3.33).

Для исследования системы неизвестных функций (3.33) можно использовать метод интерполирования, заключающийся в следую­ щем. Под интерполированием понимается отыскание значений функ­ ции, соответствующих промежуточным значениям аргумента. Иначе говоря, речь идет об отыскании аналитического выражения для мно­ гочлена, принимающего в заданных точках заданные значения функ­ ции. Такую задачу называют задачей параболической интерполя­

ции. Она ставится следующим образом.

заданы значения

Рассматривается

функция / (t),

для которой

 

yi = f(ti)

(і' = 0,ѵ),

 

причем все t0, tlt ...,

(ѵ и у0, у1г ...,

уѵ — известны.

Требуется опре­

делить многочлен Y

= F (t).

 

 

82

Смотрите также файлы