Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 85

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Как известно, этот многочлен можно представить в виде суммы многочленов (интерполяционный многочлен Лагранжа)

p , , v V f ^

£ (' -

у к - ' » ) -

«

-

Ч - І > V -

O+iJ

■ ■ ■ ( ' - ‘у) rr

г ( ч — \ і і ( Ч

V

di -

— f.\ . . .

tt — t. .UÉ — t . . . ) __—

v)

1 = 0

/ = 1

t0) dl - t j ) . . .

d

-

tj-0 d -

tj+,)

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.34)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которая после преобразования примет вид

F(t) _ V

1

 

 

У <«

.

I)2V —1

6 - 0 -----------/ ѵ - 1 _j_

к=0

d k -

16)

П

d k - <e)

П

6 = 0

 

6 = 0

 

d

 

 

 

W/<i

2

V/

 

 

_ | _ ^

l ) 2 v _ 2

i < i = l

— 2 _ J _ (

J j 2 v - 3 i < j < t = 2

^ v - 3

П 0x -< e)

 

 

 

n

(<K-<e)

 

6 = 0

 

r*V—1

 

6 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

"V

 

t:t, . . . t-

 

 

 

 

 

^

 

 

n t6

 

 

 

2

 

V/

 

 

 

 

,2v—v+1 Кі<...<ъ

■t + ( -

D'

6 = 0

У*

+ ( - 1):

 

 

 

 

П 0K-

 

 

n

(fK- f fl)

 

 

 

16)

 

 

6 = 0

 

 

 

6=0

(3.35)

(« Ф б).

 

(и¥= t. /»Л • • • .

ft),

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (t) = Ö0^v -(- Cj/V

 

-j~ d2t

 

Gv—d

 

(3.36)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сл

--

 

 

I

,£/x>

 

 

 

 

s/ j

 

V

 

 

 

 

0

-

 

 

 

 

 

 

 

«=0 П (<x-< 6)

 

 

 

 

 

 

 

6 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

2

r6

 

 

 

 

=

( -

i)2v~! £

 

-------jw

 

 

 

 

 

 

 

П dH- t 6)

 

 

 

 

 

 

 

 

6=0

 

 

 

 

 

 

 

 

V

2

'«'/

 

 

(ЗІ37)

 

-

( -

i f - 2S

^

 

 

 

 

 

 

 

 

K = 0 П (**-*„)

1 = 0

6:

83

 

 

 

 

v

 

2

hh • ••

l-a

 

 

 

a,_,

=

( - l)v+1

2

* Щ < ° -------------- w

 

 

 

 

 

 

 

 

П ( ( , - ѵ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

i H

 

 

 

 

 

 

av =

( - l ) v S

 

-------у*

 

 

 

 

 

 

*=° П ux - t ö)

 

 

 

 

 

 

 

6 = 0

 

 

 

 

 

 

 

(к Ф S;

* Ф і\

х ф /; . . . ; к Ф Ф).

 

 

 

Из соотношения (3.37) видно,

что

все

коэффициенты

многочлена

(3.36)

выражены

через известные

величины аргумента

t = t0, t =

= t»

■■■> t = tv

и функции

/ ( g

= y0; f (tj) =

...; f (U) = yv.

Следовательно, каждое неизвестное bj6’K) (t),

ßj/’

(/),

a-f? функ­

ции, описывающей неизвестные коэффициенты динамической модели, можно представить в виде многочлена (3.36):

 

6{e’x)(0 =

a{o,,0^ +

a},e>KVv- I +

+

а » +

 

 

+ a f f *

(і

- О Гя ;

6 = ÖTä ),

 

 

 

С (і) =

 

 

 

+ • - - + a \ U +

 

 

+

a}S>

( / = l 7 c 2„;

6 =

ÖT£),

 

(3.38)

 

а',®! (/) =

a ^ tv + a??f-x+

• ••

+

+

 

 

+

aff

(/ =

2TCI;

Ö= ÖTk).

 

 

Неизвестные коэффициенты этих многочленов а;*, а}?,

а'®* (і =

= 0,

п\ j =

1,

С2; I = 1, С^;

х =

0, ѵ 6 =

0, k)

можно вычислить

по формуле (3.37).

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее, внося найденные значения коэффициентов в виде функций

времени в приближенное уравнение регрессии,

получим

искомую

динамическую модель сложного многомерного процесса

 

у

(0= І1 ^0Л) (/) Х£+ V ь)°-2>(0X? +

... +2 öl°'fe>(О +

 

*=0

 

 

t = 1

 

 

 

 

i=l

 

 

+

2

ß i / W " f "

2

 

 

 

" *

(3.39)

 

i</=2

 

 

l<i<l=2

 

 

 

 

Итак, полученная математическая модель может характеризо­ вать исследуемый сложный многомерный процесс во времени. За­ даваясь дискретными значениями t = t0, t = ..., t — U, как частный случай, можно получить последовательные модели, описы­ вающие дискретное состояние исследуемого процесса.

84

Полученная сложная многомерная динамическая модель имеет большое практическое значение. С ее помощью можно предсказать последующие состояния сложной многомерной информационной си­ стемы.

Если изменение состояний многомерной информационной систе­ мы обусловлено не изменением времени, а некоторым изменением параметра, то совершенно аналогично можно построить математиче­ скую модель, учитывающую изменения данного параметра. В этом случае математическую модель, описывающую состояние многомер­ ной информационной системы, будем называть параметрической.

4.Автоматический синтез наплучшей математической модели многомерных систем

В§ 1 данной главы показано, что при монотонном нарастании степе­ ней свободы математической модели при применении метода ее по­ следовательных усложнений все более существенной становится погрешность, вносимая размерностью модели. Легко заметить, что скорость нарастания оценки погрешности, вносимой степенью свобо­ ды, прямо пропорциональна скорости роста степени свободы матема­ тической модели изучаемого объекта.

При моделировании многомерных сложных систем с помощью метода последовательного усложнения математической модели ошиб­ ка аппроксимации растет быстрее, чем точность аппроксимации. Поэтому область применения метода последовательного усложнения математической модели для описания сложных многомерных систем весьма ограничена. Следовательно, разработка метода определения этой области при исследовании сложных многомерных информацион­ ных систем приобретает большое теоретическое и практическое зна­ чение. Метод поиска адекватной модели в случае многомерных систем может базироваться, так же, как и для случая моделирования одномерных систем, на критерии Фишера.

Вначале рассматривается линейная многомерная модель

У(1) =

+ Ьі{ )Х 1 + bi2 )X 2 +

... + ь Ѵ х а

с точностью аппроксимации

 

DI — т I— 2

' — (^о 5~Ь Ь^ХЫ

Ъп^Хпк)]2, I = п + 1.

1 Х=1

 

 

С целью сопоставления при помощи метода последовательных усложнений модели строится более сложная модель исследуемого процесса

у » = й4,, + *і,,х 1+ ••• + ь " )х п + ь?)х \ + ьЧ)х \ + ... + é M

с оценкой

точности

аппроксимации

 

^2 =

т_I 2

— (^о1*

+ • • • + Ь^хпк -f-

 

Х=1

 

 

+

йр*?х +

+ 6п ’4х)]2.

Выбор лучшей из этих двух последовательных моделей произво­ дится при помощи критерия Фишера

<р .

Dn

Вслучае удовлетворения критерию Фишера последняя более сложная модель считается лучшей, а предыдущая — худшей. Затем рассматривается следующая, еще более сложная модель

г /3) =

bQ+ 2

Ь}'% + 2 bf'X] + 2 *іЭ)х?

 

 

(=1

 

1=1

і=1

с оценкой степени точности аппроксимации в виде

1

т

у™ -

( 2

+ 2

й'2)^х + 2 Л *

0 . - ^

2

 

Х=1

 

1=1

І=1

(=1

 

 

 

z3 =

З/г + 1.

 

Аналогично эти две модели сопоставляются при помощи критерия Фишера, т. е.

D ,

D < -Г і-г5.

Процесс продолжается до тех пор, пока не обнаружатся наруше­ ния критерия Фишера, после чего процесс усложнения модели оста­ навливается и предпоследняя модель считается наилучшей. Эта модель и принимается в качестве математической модели исследуе­ мой многомерной системы.

Процесс поиска наилучшей математической модели для описания сложных многомерных систем в общем виде можно представить так. Рассматриваются две последовательные модели

/ _1) = ь0 + 2 т а + 2 т а * . . . + 2

и

1=1

І= 1

 

1=1

 

 

 

 

 

 

у {к) = ь 0 + 2

ь ? % + 2

ь ? ]х ] +

. . . + 2

b f - ^ x f - ' + 2 b ‘k ) x k

1 = 1

І = 1

 

? = 1

 

i = l

с соответствующими точностями аппроксимации

 

Dk—1 m =— /г т 2

ь0+ 2

+ 2 W

+ . . .

 

к—1 v = l

,

i=i

(=i

 

•••

4 - 2 ^ - V

v - 1 2,

/fe_, = (ä — i ) « + i ,

 

 

i=i

 

 

 

 

86

 

 

s

n

 

 

 

^ 'к

т —Ik

Уѵк) - { b 0+ ±

ь \ 1)х „ +

V

+ . . .

 

 

v=l

1=1

 

/ = 1

 

 

 

+

n

4 =

kn +

1.

 

 

V b\k)xkiv

 

 

 

1= 1

 

 

 

Далее эти модели сопоставляются при помощи критерия Фишера

D к—1 < F •-'•ft-

D k

Если критерий Фишера удовлетворяется, то для последующего сравнения оставляется последняя модель, а предыдущая отбрасыва­ ется как непригодная для описания исследуемого процесса.

Затем вводится новая более усложненная модель. Процесс про­ должается до тех пор, пока не обнаружатся отклонения от критерия Фишера.

Как известно, при исследовании многомерных систем часто тре­ буется выявить совместное влияние управляющих факторов. В этом случае необходимо в процессе поиска наилучших моделей учитывать совместное влияние управляющих факторов. Метод поиска адекват­ ной модели с учетом совместных влияний факторов можно построить так. Вводятся две последовательные модели в виде

 

 

bll)X t +

 

 

 

 

 

с2

У(0 =

2

2

ь(2)х? +

+

2

-f- v ß i/^г^/.

 

i= 0

 

 

i=i

 

 

 

'•='

i<i

у (2>=

2

Ä

+

2

ь^

+

+

2 b\k)x f +

V $i/XcXj -e

 

1=0

 

 

1=1

 

 

 

(=•

<■</

 

 

 

 

 

 

 

 

+2 aiilX iX iXl

Ki<‘

с соответствующими оценками точности аппроксимации

Di =

т —‘ li

~

U1:’ - ( 2

ЬРхн +

2

bf'xn +

 

п

 

ѵ=1

Сп

Ѵ=О

 

І=1

 

 

 

 

 

 

 

4 = kn -К С2 -J- 1,

• • • +

2

b i ^х іѵ

+

V

ß ijx iv x iv ^

 

 

f=i

 

;XtLo

 

’

'

 

 

 

 

 

і'</=2

 

 

 

0 2 =

 

 

y {?

— 2

Л

+

;=i

+

 

 

 

V=1

 

 

v=o

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

 

 

 

c?

 

• • •

+ 2

bl x iv

 

2

fitjx t vx j x "E

2

a ill X[vXj vXiv I

 

/ = 1

 

( < / = 2

 

 

K i < l = 3

 

 

 

 

l2 ~

kn -J- C2 -(- Cn -j- 1.

 

Далее, сопоставляя эти две модели при помощи критерия Фише­ ра, можно обеспечить поиск наилучшей математической модели, содержащей члены, характеризующие совместное влияние управ­ ляющих факторов.

Смотрите также файлы