Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf

Г л а в а 4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

1.Синтез динамической модели одномерной системы

Впредыдущей главе изложены методы моделирования одномерных систем, базирующиеся на теории случайных величин. Описаны так­ же методы автоматического поиска наилучшей модели для описания сложных одномерных процессов, а для учета изменения состояний исследуемой системы во времени предложены методы параболиче­ ской интерполяции.

Наряду с достоинствами изложенные методы исследования слож­ ных одномерных систем имеют ряд недостатков, связанных с точ­ ностью аппроксимации.

Алгоритм определения динамических характеристик случайного процесса. Изучение случайного процесса на основе законов случай­ ных величин является приближенным и не дает никаких представ­

лений о состоянии системы во времени. Всякий случайный про­ цесс — это сложный динамический процесс, для описания которого, как нам кажется, целесообразно пользоваться понятием случай­ ных функций, более широким, чем понятие случайной величины. Теория случайных функций с успехом применяется для описания сложных динамических процессов в технике, физике и т. д. [15].

Рассмотрим случайный процесс, подчиняющийся законам теории стохастических процессов. При изучении динамики весьма важен анализ отклонений, аналогичных отклонениям в процессах управле­ ния, неизбежно возникающих в условиях непрерывно воздействую­ щих случайных возмущений. По своей природе они являются слу­ чайными функциями. Для того чтобы рационально выбрать кон­ структивные параметры воздействия на выход системы, необходимо изучить ее реакцию на случайные возмущения. Предположим, что значения параметров в данный момент времени изменяются во вре­ мени как случайная величина, а ход процесса — как случайная функция. Пусть в течение определенного промежутка времени произ­ ведено п независимых испытаний над определенным процессом и в ре­

Таким образом, каждое испытание обращает исследуемый процесс

ние случайной функции можно с некоторым приближением заменить

88

рассмотрением динамически изменяющейся системы случайных вели­ чин. По мере увеличения количества испытаний над исследуемой системой замена становится все более и более точной.

Нетрудно заметить, что для случайной функции можно построить некоторые вероятностные характеристики, аналогичные законам распределения. Однако практическое использование в качестве ве­ роятностных характеристик функций распределения многих пере­ менных становится неудобным. Поэтому закон распределения слу­ чайной функции многих переменных целесообразно записать чисто формально в какой-либо символической форме, а для решения прак­ тических задач лучше всего пользоваться числовыми характеристи­ ками случайной функции.

Аппарат числовых характеристик — весьма гибкий и мощный, он позволяет сравнительно просто решать многие практические задачи. Числовыми характеристиками случайных функций в общем случае являются не числа, а функции.

Математическое ожидание случайной функции X (t) определяется

Таким образом, математическим ожиданием случайной величины X ( у называется неслучайная функция тх (t), которая при каждом значении t = tk равна математическому ожиданию соответствую­ щего сечения случайной функции. Аналогично, дисперсия случайной функции

Dx(t) = D[% (/)].

ох (0 = ± V D x(i).

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются важными характеристиками случайной функ­ ции, однако для описания основных особенностей этой функции их недостаточно. Действительно, изменения случайной функции во времени зависят от предыдущих состояний, т. е. значения случайной функции X (t) = X (t = у зависят от значения X (t) — X (t — tk - 1). С помощью изложенных выше численных характеристик подобные зависимости оценить невозможно. Следовательно, кроме этих необ­ ходимо ввести в рассмотрение другие численные характеристики для того, чтобы выявить закон зависимости между переходными состояниями. Одной из подобных характеристик является корреля­ ционная функция, характеризующая степень зависимости между сечениями случайной функции

Х(/ = У =Д [ Х (/ = /,_,)];

89

Числовые значения корреляционной функции определяются так:

Кг (4, 4+1) = М {[X (4) — гпг (4)] [X (4+і) — ni%(4+i)]} •

Если в этом соотношении положим tk — 4+ 1, то получим

Кг (4- 4) = М {[X (4) - тг (4)] [X (tk) - тг (4)1} =

= /И {[X (4) тг (4)]2} = Ог (4),

где

Кг (4. 4) = D%(4).

т. е. корреляционная функция обращается в дисперсию. Следова­ тельно, дисперсионную функцию можно не вычислять как отдельную численную характеристику случайной, а ограничиться вычислением математического ожидания корреляционной функции случайной функции. Что касается дисперсионной и среднеквадра­ тической функций, то их легко вычислить из полученной корреля­ ционной функции:

К>г (4-) = Кг (4> 4)>

°х (4) = ± V K x (tktk).

Итак, корреляционная функция является универсальным чис­ ленным показателем для случайной функции. Вместо корреляцион­ ной на практике часто пользуются нормированной корреляционной функцией вида

Kx (tk, 4+0

гг (4. 4+0 = аг (4) <4 (4+0

Синтез динамической модели. Принцип детерминации модели системы состоит в следующем. Пусть выход системы описывается не­ которой случайной функцией, заданной в виде канонического разло­ жения [15]

Пусть также выход системы изменяется под действием некоторой входной случайной функции, заданной своими каноническими разло­ жениями в виде

i=i

где V(, wt — случайные величины с нулевыми математическими ожи­ даниями; ф, (t), 4 (t) — координатные функции.

В этом случае корреляционная и дисперсионная функции опре­ деляются следующим образом:

90

то корреляционная дисперсионная функция определяется проще.

Следовательно, зная каноническое разложение случайных функ­ ций %(і) и г] (/), можно непосредственно определить их корреляци­ онные и дисперсионные функции.

Определим взаимосвязь выхода системы со входом через опера­ тор L:

где L — некоторый оператор, подлежащий определению. Подставляя каноническое разложение случайной функции щ (1)

91